0204克拉默法则-矩阵及其运算-线性代数

含有n个未知数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的n个线性方程的方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots,\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n,\\ \end{cases}$

克拉默法则 如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，即
$|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \not=0$
那么方程组有唯一解

$x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}$

其中 $A_j(j=1,2,\cdots,n)$ 是吧系数矩阵A中第 $j$ 列的元素哟好难过方程组右端常数项代替后所得到的n阶矩阵，即
$A_j=\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j-1}&b_1&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj-1}&b_n&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$

$证明：\\ 把方程组写成矩阵方程 Ax=b\\ A=(a_{ij})_{n\times n}位n阶矩阵，因|A|\not=0，故A^{-1}存在\\ x=A^{-1}b\\ 根据逆矩阵的唯一性，知x=A^{-1}b是方程组的唯一解向量\\ x=\frac{A^*}{|A|}b=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}\\ =\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} b_1A_{11}+b_2A_{21}+\cdots+b_nA_{n1}\\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+\cdots+b_nA_{n2}\\ \vdots\\ b_1A_{1n}+b_2A_{2n}+\cdots+b_nA_{nn}\\ \end{pmatrix}\\ 即x_j=\frac{1}{|A|}(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj})=\frac{1}{|A|}|A_j|(j=1,2,\cdots,n)$

例16 用克拉默法则求解线性方程组
$\begin{cases} x_1-x_2-x_3=2\\ 2x_1-x_2-3x_3=1\\ 3x_1+2x_2-5x_3=0\\ \end{cases}$

$解\\ |A|=\begin{vmatrix} 1&-1&-1\\ 2&-1&-3\\ 3&2&-5 \end{vmatrix} =5+9-4-(3+10-6)=3\not=0\\ 根据克拉默法则，有\\ x_1=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 2&-1&-1\\ 1&-1&-3\\ 0&2&-5 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(10-2-5+12)=5\\ x_2=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&-3\\ 3&0&-5 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(-5-18+3+20)=0\\ x_3=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 2&-1&1\\ 3&2&0 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(-3+8+6-2)=3\\$