系统分析师-综合知识-应用数学与经济管理

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文章目录

系统分析师-综合知识-应用数学与经济管理
- 概述
- 最小生成树
- - 真题-给出图
  - 真题-给出表
- 最短路径
- 关键路径
- - 关键路径基本
  - 关键路径升级
- 网络与最大流量
- 指派问题
- - 最小解
  - 最大解
- 线性规划
- 决策论
- - 悲观、乐观、折中、等可能
  - 后悔值
- 运输问题(伏格尔法)
- 数学建模

概述

本章节大概占7分，其中1分的理论，其余为计算。

通常52题目为理论，53-58为计算题目，目标只扣1分。

题目	类别	解法	备注
需要所有点相互连同	最小生成树	从最小边开始取并画图,取出n-1个边,取得过程不出现回路
A到B最优路线	最短路径	分段累计计算	可能有多个解
项目最短周期	关键路径	分段累计计算	可能有多个解
不同人做不同事代价不同，求最大或最小	指派问题	画矩阵,最大问题先转为最小问题,先做行变0,从每行最少得0开始指派,指派失败画线,一行只有一个0划竖线, 多个0画横线。未被线覆盖的数字得到最小值，未被覆盖的行减最小值，被画的列加最小值，0不变，从新尝试指派	可能有多个解
起点同时经过多个路径到达终点	网络与最大流量	依次划掉流量
原材料生产获取最大利润的问题	线性规划	列方程分别求解
m个原料厂向n个工厂供应最下成本	运输、供应问题	伏格尔法

本文只是给出了基本问题的基本解法，近几年的题目会有所变形和扩展，多做真题。根据题目分析出使用哪种解法。

最小生成树

带权的图最小代价全联通的问题，通常来解决管道铺设、路径选择等问题。

真题-给出图

22年5月真题某乡有7个小山村A〜G，村与村之间原有小路可加宽修建公路的线路如下图所示(路边的数字表示路长的公里数)。为实现村村通公路，修建公路总长至少(55)公里。若在(56)村新建一所中学，则可以使人们从离它最远的村到该校所走的优化路程最短

A. 13.8
B. 14.3
C. 14.8
D. 15.3
.
A. A
B. C
C. D
D. E

解题方法

从最小的边开始取，取出n-1条边(n为顶点数)，取得过程中不可出现环路。

先取1.5

再取1.8

再取2, 只能取AC，取AD的时候出现了环路

在取3

在取4

相加 1.5*2+1.8+2+3+4=13.8。故选A

第二问在第一问的最小生成树上取中心点，得到E。故选D

真题-给出表

20年5月真题某乡8个小村(编号为1~8)之间的距离如表1-2(单位：km)。1号村离水库最近，为 5km，从水库开始铺设水管将各村连接起来，最少需要铺设 (55)长的水管(为便于管理和维修，水管分叉必须设在各村处)。

	2	3	4	5	6	7	8
1	1.5	2.5	1.0	2.0	2.5	3.5	1.5
2		1.0	2.0	1.0	3.0	2.5	1.8
3			2.5	2.0	2.5	2.0	1.0
4				2.5	1.5	1.5	1.0
5					3.0	1.8	1.5
6						0.8	1.0
7							0.5

A. 6.3km
B. 11.3km
C. 11.8km
D. 16.8km

解题方法

从最小的边开始取，取出n-1条边(n为顶点数)，取得过程中不可出现环路。

先取最小的0.5

在取次小的0.8

在取次小的1.0

相加 0.5+0.8+5*1.0=6.3, 加上水库到1号村庄的5km等于11.3km。故选B。

最短路径

带权的图从起点到终点最短路径

19年5月真题下表记录了六个结点：A、B、C、D、E、F之间的路径方向和距离，从A到F的最短距离是(56)

	B	C	D	E	F
A	11	16	24	36	54
B		13	16	21	29
C			14	17	22
D				14	17
E					15

A. 38
B. 40
C. 44
D. 46

分别计算

A -> B : 11

A -> C : 16
A -> B -> C: 11 + 13 = 24

A -> D : 24
A -> B -> D: 11 + 16 = 27
A -> C -> D: 16 + 14 = 30

A -> E : 36
A -> B -> E : 11 + 21 = 32
A -> C -> E : 16 + 17 = 33
A -> D -> E : 24 + 14 = 38

A -> F : 54
A -> B -> F : 11 + 29 = 40
A -> C -> F : 16 + 22 = 38
A -> D -> F : 24 + 17 = 41
A -> E -> F : 36 + 15 = 41

故选A

关键路径

关键路径基本

同最短路径，不同的保留最大的。近几年项目工期问题不在只考察关键路径了。

19年5月真题某项目有A~H八个作业,各作业所需时间(单位:周)以及紧前作业如下表

作业名称	A	B	C	D	E	F	G	H
紧前作业	-	A	A	A	B,C	C,D	D	E,F,G
所需时间	1	3	3	5	7	6	5	1

该项目的工期为( )周。如果作业C 拖延3 周完成,则该项目的工期()

A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

A. 不变
B. 拖延1周
C. 拖延2周
D. 拖延3周

画图

A -> B : 1
A -> C : 1
A -> D : 1

A -> B -> E : 1 + 3 = 4
A -> C -> E : 1 + 3 = 4

A -> C -> F : 1 + 3 = 4
A -> D -> F : 1 + 5 = 6

A -> D -> G : 1 + 5 = 6

A -> E -> H : 4 + 7 = 11
A -> F -> H : 6 + 6 = 12
A -> G -> H : 6 + 5 = 11

A -> End = 12 + 1 = 13, 故选A

关键路径为 A D F H 1 + 5 + 6 + 1

若C延期3周, C = 6

从新计算关键路径为 A C E H = 1 + 6 + 7 + 1 = 15 , 故选C

关键路径升级

23年5月真题某项目共有A~G七道工序，各道工序所需的时间(天数)以及工序之间的行关系如下表。该项目计划的最短工期为(54)天。假设每道工序只需要一人做，每个人都可以做所有各道工序，但不能同时做多道工序，那么该项目至少需要(55)

工序	A	B	C	D	E	F	G
紧前工序	-	A	A	-	C，D	D	B，C
所需天数	7	5	7	7	5	4	10

A. 11
B. 19
C. 22
D. 24
.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

第一问是关键路径, 第二问是延伸问题并变化较多

关键路径为A C G = 24, 故答案为D

A D 并行
B C 并行
G E+F 并行

需要2人，故答案为B。

网络与最大流量

依次减去流量

22年上午真题某地天然气输送管线网络图如下，每段管线旁边数字表示输气能力(单位：万立方米/小时)。根据该图，从源s到目的地T的最大输气能力为(57)位：万立方米/小时

A. 4
B. 8
C. 9
D. 10

S->A 运走4

S->B 只能运走2

S->C 运走2

S->D 运走1

4+2+2+1 = 9 , 故选C。

指派问题

最小解

20年11月真题甲、乙、丙、丁四个任务分配在A.B.C.D四台机器上执行，每台机器执行一个任务，所需的成本(单位：百元)如表1-3所示。适当分配使总成本最低的最优方案中，任务乙应由机器 (57) 执行。

	A	B	C	D
甲	1	4	6	3
乙	9	7	10	9
丙	4	5	11	7
丁	8	7	8	5

A. A
B. B
C. C
D. D

第一步找到行中最小的, 然后每行够减去这个值

	A	B	C	D
甲	0	3	5	2
乙	2	0	3	2
丙	0	1	7	3
丁	3	2	3	0

第二步找到列中最小的, 然后每列够减去这个值

	A	B	C	D
甲	0	3	2	2
乙	2	0	0	2
丙	0	1	4	3
丁	3	2	0	0

预指派从包含0行最少的行开始

甲->A

	A	B	C	D
甲	0
乙		0	0	2
丙		1	4	3
丁		2	0	0

乙->B

	A	B	C	D
甲	0
乙		0
丙			4	3
丁			0	0

丙行没有0, 需要继续变换

划线一行只有一个0划竖线, 多个0画横线

	A	B	C	D
甲	0	3	2	2	-1
乙	2	0	0	2
丙	0	1	4	3	-1
丁	3	2	0	0
	+1

找到未被划线中的最小的, 未被划线的行减最小值，列加最小值，0不参与。

	A	B	C	D
甲	0	2	1	1
乙	3	0	0	2
丙	0	0	3	2
丁	4	2	0	0

预指派从包含0行最少的行开始

甲->A

	A	B	C	D
甲	0
乙		0	0	2
丙		0	3	2
丁		2	0	0

丙->B

	A	B	C	D
甲	0
乙			0	2
丙		0
丁			0	0

乙->C

	A	B	C	D
甲	0
乙			0
丙		0
丁				0

丁->D, 故选C。

最大解

21年05月真题某工厂分配四个工人甲、乙、丙、丁同时去操作四台机床A、B、C、D，每人分配其中的一台。己知每个工人操作每台机床每小时的效益值如表1-3所示，则总效益最高的最优分配方案共有(57)个

	A	B	C	D
甲	5	3	5	4
乙	3	4	5	6
丙	4	3	2	3
丁	4	2	3	5

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

最大值先做变换, 所以元素减去最大值6后取绝对值

	A	B	C	D
甲	1	3	1	2
乙	3	2	1	0
丙	2	3	4	3
丁	2	4	3	1

第一步找到行中最小的, 然后每行够减去这个值

	A	B	C	D
甲	0	2	0	1
乙	3	2	1	0
丙	0	1	2	1
丁	1	3	2	0

第二步找到列中最小的, 然后每列够减去这个值

	A	B	C	D
甲	0	1	0	1
乙	3	1	1	0
丙	0	0	2	1
丁	1	2	2	0

预指派甲->D 之后丁行没有0
划线一行只有一个0划竖线, 多个0画横线

	A	B	C	D
甲	0	1	0	1
乙	3	1	1	0	-1
丙	0	0	2	1
丁	1	2	2	0	-1
				+1

	A	B	C	D
甲	0	1	0	2
乙	2	0	0	0
丙	0	0	2	2
丁	0	1	1	0

预指派

因甲、丙、丁均有2个0，于是有以下三种情况。

甲A 丙B 丁D 乙C = 5 + 5 + 3 + 5 = 18

丙A 甲C 丁D 乙B = 5 + 6 + 3 + 4 = 18

丁A 甲C 丙B 乙D = 5 + 4 + 4 + 5 = 18

线性规划

在一组约束条件下寻找目标极值的问题
线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、决策变量组成(实际问题中的变量一般都是非负的)。
线性规划问题就是面向实际应用，求解一组非负变量，使其满足给定的一组线性约束条件
并使某个线性目标函数达到极值。满足这些约束条件的非负变量组的集合称为可行解域。
可行解域中使目标函数达到极值的解称为最优解。
线性规划问题的最优解要么是0个(没有) ，要么是唯一的(1个) ，要么有无穷个 (只要
有2个，就会有无穷个)。
在实际应用中，可以直接求约束条件方程组的解，即是交叉点，将这些解代入到目标函数
中判断是否极值即可。
线性规划的标准形式有四个特点：

1.目标函数为极大化类型；
2.所有的约束条件都是等式；
3.所有约束方程右端的常数都是非负的；
4.所有决策变量都是非负的。

近几年线性规划主要考理论而非计算了
2018年真题某厂拥有三种资源A、B、C生产甲、乙两种产品。生产每吨产品需要消耗的资源、可以获得的利润见下表。日前，该厂拥有资源A、资源B和资源C分別为12吨，7吨和12吨。根据上述说明，适当安排甲、乙两种产品的生产量，就能获得最大总利润( )。如果生产计划只受资源 A和C的约束，资源 B很容易从市场上以每吨 0.5 百万元购得，则该厂宜再购买( )资源B，以获得最大的总利润。

	产品甲(每吨)	产品乙(每吨)
资源A(吨)	2	1
资源B(吨)	1	1
资源C(吨)	1	2
利润(百万元)	3	2

A. 16
B. 18
C. 19
D. 20

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

设生产甲x, 乙y, 最大利润z。

目标函数 z=3x+2y
约束条件:
资源A 2x+y<=12
资源B x+y<=7
资源C x+2y<=12
x>=0,y>=0

标准解法为画图, 然后找交点合围区域为可行解, 三条线应该有三个交点，两两一组求解。

	方程组	解	是否可行	z
A	2x+y=12 x+y=7	x=5,y=2	x+2y<=12 √	19
B	x+y=7 x+2y=12	x=2,y=5	2x+y<=12 √	16
C	2x+y=12 x+2y=12	x=4,y=4	x+y<=7 x	20

最大利润为19,故选C

不考虑B的约束, 则上边C的解作为最大利润解, x=4,y=4, 这对于B 需要8吨, 故需要购买一吨, 选A

决策论

方案	实现	备注
悲观	小中取大max(min)
乐观	大中取大max(max)
折中	折中系数为a, max(最大收益 * a + 最小收益 * (1-a))	a=1为乐观, a=1为悲观
等可能	和中取大max(sum)
后悔值	最小最大后悔值min(max),投资方案获得的最大收益-当前选择的收益=后悔值,将所有方案的最大后悔值选出之后选最小的

悲观、乐观、折中、等可能

20年11月真题某企业有三种方案A1，A2，A3可供选择，各种方案面对三种可能的市场状态S1，S2，S3可以获得的利润F(Ai，Sj)如下表(单位：负值表示损额)，企业应依据合适的决策准则来选择方案。以下对决策过程的叙述中，(57)并不正确

	S1	S2	S3
A1	-4	13	15
A2	4	7	8
A3	-6	12	17

A. 根据乐观准则maxmaxF(Ai，Sj)，应选择方案A3
B. 根据保守准则maxminF(Ai，Sj)，应选择方案A2
C. 根据市场状态等可能性准则，应选择期望利润最大的方案A1
D. 根据市场状态折衷准则(乐观系数0.6，保守系数0.4)，应选择方案A2

乐观方案大中取大, A3, 故A正确

	S1	S2	S3	最大
A1	-4	13	15	15
A2	4	7	8	8
A3	-6	12	17	17

保守方案小中取大, A2, 故B正确

	S1	S2	S3	最小
A1	-4	13	15	-4
A2	4	7	8	4
A3	-6	12	17	-6

等可能性方案小中取大, A1, 故C正确

	S1	S2	S3	和
A1	-4	13	15	24
A2	4	7	8	19
A3	-6	12	17	23

折中方案 max(最大收益 * a + 最小收益 * (1-a)) a=0.6, A3，故选D。

	S1	S2	S3	最大收益 * a + 最小收益 * (1-a)
A1	-4	13	15	13x0.6 + -4x0.4 = 6.2
A2	4	7	8	8x0.6 + 4x0.4 = 6.4
A3	-6	12	17	17x0.6 + -6x0.4 = 7.8

后悔值

以上题为例,最后悔值矩阵, 列最大值减去列值, 没选盈利最大的场景，若盈利了少赚了多少。min(max后悔值), 故若最小后悔值方案选择A1方案。

	S1	S2	S3	最大
A1	8	0	2	8
A2	0	6	9	9
A3	10	1	0	10

运输问题(伏格尔法)

2018年5月真题设三个煤场A、B、C分别能供应煤12/14/10万吨，三个工厂X、Y、Z分别需要煤11、12、13万吨，从个煤场到个工厂运煤的单价(百元吨)见下表方框内的数字，只要选择最优的运输方案，总的运输成本就能降到()百万元。

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)
煤场A	5	1	6	12
煤场B	2	4	3	14
煤场C	3	6	7	10
需求量(万吨)	11	12	13	36

A. 83
B. 91
C. 113
D. 153

取行列的最大与最小的差值, 并找到最大的, 差值越大说明选小的的收益越好。

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)	差值
煤场A	5	1	6	12	5
煤场B	2	4	3	14	2
煤场C	3	6	7	10	4
需求量(万吨)	11	12	13	36
差值	3	5	4

优先分配最大差值(5)中最小的(1), 若有相同任意一个即可。煤场A为工厂Y供应12吨。

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)
煤场A	5	1*12	6	12
煤场B	2	4	3	14
煤场C	3	6	7	10
需求量(万吨)	11	12	13	36

取行列的最大与最小的差值, 并找到最大的, 差值越大说明选小的的收益越好。

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)	差值
煤场A	5	1x12	6	12	-
煤场B	2	4	3	14	1
煤场C	3	6	7	10	4
需求量(万吨)	11	12	13	36
差值	1	-	4

优先分配最大差值(4)中最小的(3), 煤场B为工厂Z供应13吨。

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)
煤场A	5	1x12	6	12
煤场B	2	4	3x13	14 1
煤场C	3	6	7	10
需求量(万吨)	11	12	13	36

煤场B为工厂X供应1吨，煤场C为工厂X供应10吨

	工厂X	工厂Y	工厂Z	供应量(万吨)
煤场A	5	1x12	6	12
煤场B	2x1	4	3x13	14 1
煤场C	3x10	6	7	10
需求量(万吨)	11	12	13	36

1x12 + 2x1 + 3x13 + 3x10 = 83 , 故选A

数学建模

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的种强有力的数学手段。
数学建摸过程

模型准备:了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来播述问题。
模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立:在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数字工具。
模型求解:利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计) 。
模型分析:对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验: 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建摸过程
模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异。