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Educational Codeforces Round 139 (Rated for Div. 2)

D. Lucky Chains

取模的性质，更相减损术

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思路：

我们假设链的长度为 $w$，不妨设 $x\ge y$，那么 $gcd(x+k,y+k)=1(0\le k\le w)$。根据更相减损术，可以把式子写成如下形式：$$gcd(x+k,y+k)=gcd(y+k,x-y)=1$$我们只要找到第一个不满足这个式子的 $k$ 的取值，我们就知道了链的长度 $w$。

如果 $gcd(y+k,x-y)\ne 1$，那么假设它们的最大公因数为 $p$，即 $gcd(y+k,x-y)=p$ 的话，$y+k,x-y$ 都应该是 $p$ 的倍数，$p$ 是它们的约数。因为 $x-y$ 是个定值，所以我们可以枚举 $x-y$ 的所有约数来得到 $p$。

不过枚举约数太慢了，$n\ast \sqrt{10^7}\approx 3\ast 10^9$，取模运算还很慢，八成会超时。考虑到我们上面其实并不需要知道 $y+k,x-y$ 的最大公因数，我们只要他俩随便能有个相同的因数就行了，因此我们可以把这个最大公因数 $p$ 拆成若干质因数，我们只对质因数进行验证就好了。

将某个数分解质因数可以用欧拉筛来预处理，每次标记合数的时候就记录一下这个合数由哪个质数算过来即可。之后查询会非常迅速（有几个质因数就只查几遍）。

而 $y+k$ 是 $p$ 的倍数就需要 $k=(y-y\%p)\%p$（ $y$ 加上一个值得到最近的 $p$ 的倍数）。$k$ 值就是所有约数中满足条件的最小的那个了。 $0\sim k-1$ 都满足条件，链长就是 $k$ 了。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e7+5;
const int inf=1e9;int T,a,b,x;bool vis[maxn];
int prime[maxn],lst[maxn],cnt;
void Eular(int n){vis[1]=true;lst[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;lst[i]=i;}for(int j=1,p=prime[1];j<=cnt && i*p<=n;p=prime[++j]){vis[i*p]=true;lst[i*p]=p;if(i%p==0)break;}}
}int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);Eular(1e7);cin>>T;while(T--){cin>>a>>b;if(a>b)swap(a,b);x=b-a;int ans=inf;for(int p=lst[x];p!=1;p=lst[x/=p])ans=min(ans,(p-b%p)%p);if(ans!=inf)cout<<ans<<endl;else cout<<-1<<endl;}return 0;
}