第六讲 B+树索引

1 B树大家庭

有一种称为 B 树的特定数据结构，人们还使用该术语来泛指一类平衡树数据结构：

B-Tree (1971)
B+Tree (1973)
B*Tree (1977?)
B link-Tree (1981)
Bε-Tree (2003)
Bw-Tree (2013)

2 B+树

B+Tree 是一种自平衡【self-balance】、有序【ordered】的树数据结构，允许在 O(log n) 内进行搜索【search】、顺序访问【sequential access】、插入【insertion】和删除【deletion】。

它是二叉搜索树的推广，因为一个节点可以有两个以上的子节点，这样做的好处是我们可以通过串行 IO 来最小化随机 IO
针对读取和写入大数据块的系统进行了优化。

B+Tree 是一种 M 路搜索树，具有以下属性：

它是完美平衡的（即每个叶节点在树中都处于相同的深度）
除根节点之外的每个节点都至少是半满的，即： M/2-1 ≤ keys ≤ M-1
每个具有 k 个键的内部节点都有 k+1 个非空子节点

在一个根节点内部，我们会有这种交替的模式，一个指向另一个节点的指针，然后是一个键，再然后是一个指向另一个节点指针.....
在叶节点中，会有我们试图为给定键存储的值，当然这个各个系统都不一定相同

2.1 Node

每个 B+Tree 节点都由键/值对的数组组成，而该数组(通常)基于键有序，并将所有 NULL 键存储在第一个或最后一个叶节点中。

键【key】源自索引【index】所基于的属性【attribute(s)】
根据节点被分类为内部节点还是叶节点，里面的值会有所不同，如果是内部节点，那么它的值是指向其他页面的指针，而如果该节点是叶节点，则它的值是指向元组的指针（这里我不说内存地址，因为它可能不在内存中）【Record ID】（或者直接保存元组数据）。

PS : 在上图中，我们可以看到，我们有兄弟指针，也有向下的指针，但是就是没有向上的指针。这是当我们开始在这些节点上取锁存器时，我们不想让一个线程从上往下取另一个线程从下往上取，因为那样会造成死锁。兄弟阵阵也有这个问题，但是在下一讲中会给出解决办法。

2.2 B+树 Leaf Node

第一种叶节点中，key和value前后相依，而最左最右分别指向前后节点的 Page ID

第二种叶节点中，key和value分开存储，并保证有序，同时会维护一些其他原数据，比如层级【level】，以及插槽数【slots】，这对于恢复【Recover】也很有用。

基于上面两张图，我们重点关注叶节点中的值【value】存储的方法：

方法1：值中存储的是记录 ID【Record ID】:叶节点中的值是指向索引条目对应的元组所在内存位置的指针
方法2：值中存储的是元组的真实数据（MySQL使用的方法）
- 这也被称为索引组织存储【Index-Organized Storage】
- 在叶节点存储元组的实际内容
- 而二级索引必须将记录 ID 【Record ID】存储为其值。

【注】Record ID 是Page ID 与偏移量（或者说是插槽 ID）的组合

2.3 B树 V S . B+树

原始 B 树将键和值存储在树中的所有节点中，这样做更节省空间，因为每个键仅在树中出现一次。

而B+树仅在叶节点中存储值。内部节点仅指导搜索过程。

这样的好处是，当我们进行顺序扫描查询时，B树必须做一些向上向下的遍历，这期间也会涉及节点锁存器【latch】的操作。而对于B+树，我们只需要根据导航找打页节点，就可以顺序扫描，而无序关注父节点上的锁存器【latch】操作，这样可以带来更好的并发性，并且串行IO要比随机IO快得多。

2.4 B+树插入

找到正确的叶节点
按键顺序将数据条目插入到 L 中
如果 L 有足够的空间，完成！
否则，将 L 中的 keys 拆分为 L 和一个新节点 L2
1. 均匀的重新分配键，并将中值插入到父节点中
2. 将指向 L2 的索引项插入到 L 的父节点中

PS 要分割内部节点，请均匀地重新分配条目，但要将中间键上推到父节点。

动画链接：B+ Tree Visualization

2.5 B+树删除

从根节点开始，找到条目所属的叶节点 L
删除条目
如果 L 至少时半满，完成！
如果L只有 M/2-1 个条目
1. 场景进行重新分配，从兄弟节点上借值
2. 如果重新分配失败，则将 L 和同级的兄弟节点进行合并，需要注意的是，当发生合并时，必须删除 L 父节点中指向 L 或者与其合并的兄弟节点的条目【entry】

2.6 选择条件

在哈希表中，我们唯一可以做的操作，就是哈希键【hash key】等于【=】我要找的 key.。我们没有办法做诸如小于大于的操作，甚至不可以做部分 key 查询，我们必须查询完整的key，比如当我们有一个ABC三列的索引，我们没办法查询只有AB列的key。

对于哈希索引，我们的搜索键【search key】中必须有所有属性【attributes】。

而对于B+树索引，我们必须要求搜索【search key】中必须有所有属性【attributes】，它可以只包含部分属性。

示例：<a,b,c> 上的索引

支持 (a=1 AND b=2 AND c=3)
支持(a=1 AND b=2)
支持 (b=2), (c=3)

但是，并非所有 DBMS 都支持这一点，oracle 通过跳跃扫描【skip scan】实现了第三点。

栗子：

假设我们有A和B列上的 b+ 树索引，下面进行前缀查询【Prefix Search】

case 1 我们的查询键是(1,2)

在中间节点上，我们逐个比较（当然数据库系统可能更高级），在第一个元素上，我们依次检查 1 <= 1 和 2 <= 3 两个表达式，得出数据应该在左子树中的揭露
然后根据指针导航到左子树，就可以查得元素

case 2 我们的查询键是(1,*)

我们检查 1 <= 1表达式，并根据结论导航到叶节点中
在第一个叶节点中，现在我继续扫描，并在遇到每一个key上计算做表达式计算，直到遇到违反该表达式约束的记录时结束扫描，在栗子中就是（1,*） <= (2,*)

case 3 我们的查询键是(*,1)

我们的查询键上没有索引的第一部分，那么意味着我需要查询所有，在 oracle 中应该会利用多线程技术来对树的不同叶节点分开计算，并最终将结果组合到一起

2.6 重复键

目前有两种处理重复键的方法

方法 1 ：Append Record ID，
- 添加元组的唯一记录 ID 【Record ID】作为键的一部分，以确保所有键都是唯一的。
- DBMS 仍然可以使用部分键【partial keys】来查找元组。
方法 2：Overflow Leaf Nodes
- 允许叶节点分割出一个溢出节点，并在该节点上存放重复键
- 但是维护和修改比较复杂。

Append Record ID 栗子:

1️⃣ 在如下的 B+ 树中，我们将记录 ID 【Record ID】作为键的一部分，可以看到它的组成是 key + RecordID

2️⃣ 此时，我们想要在此 B+ 树中插入元素 6，数据库系统会负责将插入语句转换为：

insert <6,(Page,SLot)>

3️⃣ 而注意此时叶节点已经满了，我们将元素做拆分这样就可以插入元素 6 了。需要注意的是，如果6 所在的列上有唯一索引，那么就无需这种特殊处理了。

Overflow Leaf Nodes 栗子:

1️⃣ 同样是插入元素 6 ，我们计算的到叶节点，而该叶节点满了，我们意识到插入元素在该叶节点中有重复记录，因此我们增设一个溢出页，并将元素插入其中。

2️⃣ 我们可以继续插入重复的元素，比如插入 7 ，

3️⃣ 再次插入 6

2.7 聚簇索引

表【table】按主键指定的排序顺序进行存储，这可以是堆组织存储【heap-organized storage】，也可以是索引组织存储【index-organized storage】。

一些 DBMS （比如MySQL）始终使用聚集索引，如果表不包含主键，DBMS 将自动创建隐藏主键。

2.8 聚簇的B+树

聚簇索引扫描

当我们进行扫描时，假设我们按索引组织存储，当我们开始扫描叶节点，来查找所有我查找的元组时，我们可以保证按照键顺序所定义的排序顺序来获得页面【page】。

遍历到最左边的节点，然后从所有叶节点中检索元组。

非聚簇索引扫描

而以元素在非聚簇索引中出现的顺序进行扫描，这样会导致很高的重复 IO 读取，从而降级性能。

更好的方法是找到查询所需的所有元组，然后根据其 Page ID 对它们进行排序，再顺序读取，这样每个页面只需要检出一次。

更多关于 B + 树的设计决策，请参考 Google 的书 Modern B-tree techniques | IEEE Conference Publication | IEEE Xplore

2.9 节点大小

在前面介绍中，我们知道页与节点是1:1大小的，但是某些数据库，比如 DB2，允许对某个表或索引，单独设置其数据库中页的大小。依赖于你所在的硬件，你可以设置不同的页大小。比如你的硬件存储越慢，那么你就应该设置更高的页大小，以减少磁盘 IO。

HDD: ~1MB的页
SSD: ~10KB的页
In-Memory: ~512B的页

2.10 MERGE THRESHOLD

某些 DBMS 在节点半满时并一定会合并节点

B+Tree节点平均占用率为69%。

延迟合并操作可以减少重组【reorganization】量。

最好只让较小的节点存在，然后定期重建整个树。
这就是为什么 PostgreSQL 将他们的 B+Tree 称为“非平衡”B+Tree (nbtree)。

2.11 可变长的键【variable-length key】

方法1：指针，即实际上我们并不会将键本身存在节点中，而是只需存储一个到它的指针，但是这会带来随机 IO。

将键存储为指向元组属性的指针。
也称为 T 树（内存 DBMS）

方法：可变长度节点【Variable-Length Nodes】，目前为止只有一些学术数据库才使用这种方案

索引中每个节点的大小可能会有所不同
因此需要仔细的内存管理

方法3：填充【Padding】

始终将键填充到键类型的最大长度。

方法4：键映射/间接【Key Map / Indirection】，与页内的可变长处理方案一样，详见 slotted page

嵌入一个指向节点内键+值列表的指针数组

2.12 节点内搜索【intra-node search】

一旦我们进入到某个节点，我们首先将其放入内存，然后在其中查找键，以决策我们是导航到哪个子节点上。

那么节点内搜索的方案有哪些？

方法1：线性

一种比较粗犷的方法是从头到尾扫描节点键。
另一种比较好点的方法是使用 SIMD（它是 CPU 提供的一类高级指令，基本上是它有一个向量指寄存器，我们可以放入多个数据，然后可以通过一个命令进行比较）【SIngle Instruction Multi Data】进行矢量化比较。

栗子：

1️⃣ 顺序扫描

2️⃣ 与其逐个比较，我们可以利用 SIMD，并行的与 8 进行比较运算，得到最终的输出结果：

当没有匹配的键时，我们可以继续向下计算，这次就有了匹配项。SIMD 时高效的，但是它仍然时线性的，只不过是批量的。

方法 2 ：如果键是有序的，我们可以使用二分查找

跳转到中间键，根据比较结果决策向左/向右旋转。

方法 3 ：插值【Interpolation】，当你知道你的键没有间隙时，且总是单调增/减的，我么可以通过简单的数学计算出对应键的位置。

根据已知的键分布，确定所需键的大致位置。

2.13 其他优化

前缀压缩

同一叶节点中的有序键可能具有相同的前缀。
与其每次都存储整个键，而不如提取公共前缀并仅存储每个键的唯一后缀。

许多变体

去重复【D E D U P L I C AT I O N】

非唯一索引最终可能会在叶节点中存储同一键的多个副本。
叶节点可以只存储键一次，然后维护具有该键的元组的“倒排列表【posting list】”（类似于我们讨论的哈希表）。

后缀截断【Suffix Truncation】

首先，我们知道内部节点中的键仅用于“引导流量”，因此我们可能不需要存储整个完整的键，而只需要存储将探测正确路由到索引所需的最小前缀即可】。

1️⃣ 之前

2️⃣ 之后

指针旋转【POINTER SWIZZLING】

节点使用 Page ID 来引用索引树中的其他节点。

DBMS 在遍历期间必须从页表中获取内存位置。
如果页面始终固定【Pin】在缓冲池中，那么我们可以存储原始指针而不是页面 ID。这避免了从页表中查找地址

栗子：

1️⃣ 当我们查找大于 3 的元素时，我们与 6 比较，得出应该导航到左子节点，假设其 Page ID = 2，那么我们请求 Buffer Pool 给予我 Page ID = 2的页面的指针（内存地址）。

2️⃣ 接来下我们可能需要查询其兄弟节点，即 Page ID = 3，我们又需要回到 BufferPool 请求指针。

3️⃣ 假设我们将页固定在内存中，不会被驱逐，那么我们可以直接替换树中的 Page ID 为真实内存指针，这样必须每次都要去页表中换取对应内存指针了。

批量插入【Bulk insert】

为现有表构建新的 B+Tree 的最快方法是首先对键进行排序，然后从下往上构建索引。这个在 MySQL 官方文档中叫 Sorted Index Builds。

第一阶段，扫描聚簇索引，并生成新建索引的索引条【index entries】，并将其写入 sort buffer ，当 sort buffer 满了时，里面的条目会被排序，并写入临时中间文件，这个过程也被称为 RUN
在第二阶段，在一次或多次 RUN 写入临时中间文件后，对文件中的所有条目执行归并排序。
在第三个也是最后一个阶段，排序后的条目被插入到 B 树中；最后阶段是多线程的。

在最后一个阶段中，索引条目可以是一条条插入的，但是这样速度也太慢了。此方法涉及打开 B 树游标以查找插入位置，然后使用乐观插入将条目插入到 B 树页面中。如果由于页面已满而导致插入失败，则将执行悲观插入，这涉及打开 B 树游标并根据需要拆分【spli】和合并【merge】 B 树节点以为条目找到空间。这种“自上而下”建立索引的方法的缺点是搜索插入位置的成本以及B树节点的不断分裂和合并。

排序索引构建【Sorted Index Build】使用“自下而上”的方法来构建索引。

写优化的b树【WRITE-OPTIMIZED B+ TREE】

当 DBMS 必须拆分/合并节点时，修改 B+ 树的成本很高。

最坏的情况是 DBMS 重新组织整个树。
导致产生拆分/合并的工作者【工作负载】负责完成该工作。

如果有一种方法可以延迟更新，然后批量应用多个更改，该怎么办？

解决方法：不是立即应用更新，而是将对键/值条目的更改存储在内部节点的日志缓冲区中。简而言之，每一个 root 节点和 inner 节点，会派生出一个 mod log，我们的更新不会立即传播到叶节点，我们会违反 b+ 树的约束，即叶节点是真正的值所在的地方，而是可以将条目【entry】插入到 mod log 中。