动态规划

五部曲

1. 确定dp数组的含义
2. 递推公式
3. 正确进行初始化
4. 遍历顺序
5. 举例推到dp数组

01 背包问题

第一种：填满背包所需的最大价值

有n件物品和一个最多可以背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]，所有物品只能使用一次。

滚动数组解法

1. 首先确定dp数组含义：dp[j] 表示 容量为 j 的背包能背的最大价值是 dp[j]

2. 确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

   只有两种情况

   • 第一种是当物品i的重量大于背包j的重量，物品i无法放入背包，因此背包的价值依然和前面相同
   • 第二种是因为dp[j - weight[i]]表示 j - weight[i] 重量的时候，此时最大的价值，那么dp[j - weight[i]] + value[i] 表示此时的背包放入物品i得到的最大价值

3. 初始化：背包容量为0的话，其价值也为0，因此dp[i] = 0

4. 遍历顺序：先遍历物品数量，再从背包容量倒序遍历，防止物品重复使用

5. 举例说明dp数组

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）

第二种：装满容量为x的背包，有几种方法

1. 首先确定dp数组含义：dp[j] 表示 容量为 j 的背包有 dp[j] 种方法

2. 确定递推公式：dp[j] += dp[j - weight[i]] （组合类问题）

3. 初始化：背包容量为0的话，其价值也为0，因此dp[i] = 0

4. 遍历顺序：先遍历物品数量，再从背包容量倒序遍历，防止物品重复使用

5. 举例说明dp数组

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

474. 一和零 - 力扣（LeetCode）

完全背包

与01背包唯一不同的地方是，每种物品有无限件

1. 首先确定dp数组含义：dp[j] 表示 容量为 j 的背包能背的最大价值是 dp[j]

2. 确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

   只有两种情况

   • 第一种是当物品i的重量大于背包j的重量，物品i无法放入背包，因此背包的价值依然和前面相同
   • 第二种是因为dp[j - weight[i]]表示 j - weight[i] 重量的时候，此时最大的价值，那么dp[j - weight[i]] + value[i] 表示此时的背包放入物品i得到的最大价值

3. 初始化：背包容量为0的话，其价值也为0，因此dp[i] = 0

4. 遍历顺序：先遍历物品数量，再从小到大遍历背包容量（i那位完全背包的物品是可以添加多次的）

5. 举例说明dp数组

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）