寻找递增子序列

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问题描述

给定一个整数数组 nums，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中至少有两个元素。你可以按任意顺序返回答案。数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

示例

示例 1：

输入：nums = [4,6,7,7]
输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]

示例 2：

输入：nums = [4,4,3,2,1]
输出：[[4,4]]

解题思路

1. 初始化一个列表 res 用于存储结果。
2. 调用回溯函数 backtrack，传入参数 nums 数组、起始索引 0、当前路径 path 和结果列表 res。
3. 在回溯函数中，首先将当前路径 path 加入到结果列表 res 中。
4. 然后从起始索引 start 开始向后遍历数组 nums，依次选择元素加入当前路径 path 中。
5. 在选择元素加入路径之前，需要判断是否满足递增条件和是否重复，如果满足条件则递归调用回溯函数，继续探索下一个位置的选择。
6. 当遍历结束后，回溯函数结束，返回结果列表 res。

复杂度分析

回溯算法的时间复杂度取决于最终的结果数量，而结果数量取决于数组 nums 中满足条件的递增子序列的个数。假设数组 nums 的长度为 n，则时间复杂度为 O(2^n)，其中 n 表示数组的长度。

算法步骤

1. 初始化一个列表 res 用于存储结果。
2. 调用回溯函数 backtrack，传入参数 nums 数组、起始索引 0、当前路径 path 和结果列表 res。
3. 在回溯函数中，首先将当前路径 path 加入到结果列表 res 中。
4. 遍历数组 nums，从索引 start 开始，依次选择元素加入当前路径 path 中。
5. 在选择元素加入路径之前，需要进行判断：
   • 如果当前路径的长度大于等于 2，则将当前路径加入结果列表。
   • 使用一个哈希集合 used 来记录已经选择过的元素，以避免重复选择。
   • 如果选择的元素小于当前路径的最后一个元素，则跳过，保证递增。
   • 如果当前元素已经被选择过，则跳过，避免重复。
6. 递归调用回溯函数，传入更新后的起始索引 i + 1、当前路径 path 和结果列表 res。
7. 当遍历结束后，回溯函数结束，返回结果列表 res。

java代码

class Solution {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();// 主函数，用于找到数组中的递增子序列public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {backtrack(nums, 0, new ArrayList<>()); // 回溯函数的入口return res; // 返回结果列表}// 回溯函数，用于寻找数组中的递增子序列private void backtrack(int[] nums, int start, List<Integer> path) {// 当路径中元素数量大于等于 2 时，将当前路径加入结果列表中if (path.size() >= 2) {res.add(new ArrayList<>(path));}// 用于记录已经使用过的元素，避免重复使用Set<Integer> used = new HashSet<>();// 遍历数组，从当前位置开始for (int i = start; i < nums.length; i++) {//树层去重操作// 若当前路径不为空且当前数字小于路径中最后一个数字，则跳过当前数字，因为要求递增子序列if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1)) {continue;}// 树枝剪枝操作// 若当前数字已经使用过，则跳过当前数字，避免重复if (used.contains(nums[i])) {continue;}// 将当前数字加入路径中，并标记为已使用used.add(nums[i]);path.add(nums[i]);// 递归进入下一层，继续寻找递增子序列backtrack(nums, i + 1, path);// 回溯，撤销选择，将当前数字移出路径path.remove(path.size() - 1);}}
}

通过使用回溯算法，我们可以有效地找到数组中所有满足条件的递增子序列。在回溯过程中，我们需要维护一个当前路径，逐步探索所有可能的选择，并及时剪枝以避免重复。