时间和空间复杂度

一、如何衡量一个算法的好坏

二、算法效率

三、时间复杂度

3.1 时间复杂度概念

3.2 大O的渐进表示法

3.3 推导大O阶方法

3.4 常见时间复杂度计算

3.5 空间复杂度

一、如何衡量一个算法的好坏

以下是求斐波那契数列的算法，这个算法是好还是不好呢？为什么？如何衡量一个算法的好与坏？

public static long Fib(int N){
        if(N < 3){
                return 1;
        }

        return Fib(N-1) + Fib(N-2);

}

二、算法效率

算法效率分为两种：时间效率和空间效率。时间效率称为时间复杂度，空间效率称为空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。在计算机发展早期，计算机的存储容量很小，所以很在乎空间复杂度，但经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到很高程度，所以如今我们已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

三、时间复杂度

3.1 时间复杂度概念

时间复杂度：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，定量描述该算法的运行时间。一个算法执行耗费的时间，理论上说，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来，才能知道。但我们对每个算法都上机测试很麻烦，所以就有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

3.2 大O的渐进表示法

//计算fun1基本操作执行了多少次

void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
                for (int j = 0; j < N ; j++) {
                        count++;
                }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
                count++;
        } ‘’

        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
                count++;
        }

        System.out.println(count);
}

执行次数：F(N)= $N^{^{2}}$ +2*N+10

随着N越来越大，除最高阶的项对最终结果的影响越来越小，而且实际上我们在计算时间复杂度时，并不需要计算精确的执行次数，只需要大概执行次数就可以，因此可以使用大O的渐进表示法。大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号。

3.3 推导大O阶方法

用常数1取代关于运行次数的函数中所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除最高阶项的系数，得到的结果就是大O阶。

使用大O阶表示法表示 func1 的时间复杂度为：O( $N^{2}$ )

有些算法存在最好、平均和最坏情况：

        最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
        平均情况：任意输入规模的期望运行次数
        最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

示例：在一个长度为N数组中查找一个数据x

最好情况：1次就找到

最坏情况：N才找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中查找数据的时间复杂度为O(N)。

3.4 常见时间复杂度计算

示例1

void func2(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
                count++;
        }

        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
                count++;
        }

        System.out.println(count);
}

执行次数：func2(N)=2*N+10,大O表示法为O(N)。

示例2

void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
                count++;
        }

        for (int k = 0; k < N ; k++) {
                count++;
        }

        System.out.println(count);
}

执行次数：func2(N，M)=N+M,大O表示法为O(N+M)。

示例3

void func4(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
                count++;
        }

        System.out.println(count);

}

执行次数：func2(N)=100,大O表示法为O(1)。

示例4

void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
                boolean sorted = true;
                for (int i = 1; i < end; i++) {
                        if (array[i - 1] > array[i]) {
                                Swap(array, i - 1, i);
                                sorted = false;
                        }
                }

                if(sorted == true) {
                        break;

}

}

}

执行次数：func2(N)=N-1+N-2+……+1=N(N-1)/2,大O表示法为O( $N^{2}$ )。

示例5

int binarySearch(int[] array, int value) {
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
                int mid = begin + ((end-begin) / 2);
                if (array[mid] < value)
                        begin = mid + 1;
                else if (array[mid] > value)
                        end = mid - 1;
                else
                return mid;
        }

        return -1;
}

执行次数：func2(N)= $\log 2^n$ ,大O表示法为O( $\log 2^n$ )。

示例6

long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;

}

递归函数的时间复杂度计算：递归次数*每次递归中操作的次数。

函数factorial递归了N-1次，每次递归的操作数为1。

执行次数：factorial(N)=N-1,大O表示法为O(N)。

示例7

int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);

}

每次递归执行一次加法操作，最后n=1相当于执行赋值操作，每次递归的操作数为1。

递归总次数：

执行次数：fibonacci(N)= $2^{N-1}$ ,大O表示法为O( $2^{N}$ )。

3.5 空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，不是程序占用了多少bytes的空间，这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
示例1

void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
                boolean sorted = true;
                for (int i = 1; i < end; i++) {
                        if (array[i - 1] > array[i]) {
                                Swap(array, i - 1, i);
                                sorted = false;
                        }
                }

                if(sorted == true) {
                        break;
                }
        }

}

在函数内部临时创建了三个常量i,j,sorted，即常数个空间空间复杂度为O(1)。

示例2

int[] fibonacci(int n) { //求斐波那契数列第n项的值
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
                fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }

        return fibArray;

}

开辟N+1个lang类型变量的空间，空间复杂度为O(N)。

示例3