1. 初始化扩展的二维前缀和数组

创建一个大小为 (rows + 1) x (cols + 1) 的二维前缀和数组，其中 rows 和 cols 分别是原始数组的行数和列数。然后，我们按以下方式填充这个数组：

void initPrefixSum(vector<vector<int>>& prefixSum, const vector<vector<int>>& matrix) {int rows = matrix.size();int cols = matrix[0].size();// 初始化扩展了的前缀和数组prefixSum.resize(rows + 1, vector<int>(cols + 1, 0));for (int i = 1; i <= rows; ++i) {for (int j = 1; j <= cols; ++j) {prefixSum[i][j] = matrix[i - 1][j - 1]+ prefixSum[i - 1][j]+ prefixSum[i][j - 1]- prefixSum[i - 1][j - 1];}}
}

2. 查询扩展的二维前缀和数组

由于我们的前缀和数组是扩展过的，因此查询时的坐标也需要相应地调整。例如，如果我们要查询原始数组中从 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的子矩阵的和，我们可以使用以下代码进行查询：

int queryPrefixSum(const vector<vector<int>>& prefixSum, int x1, int y1, int x2, int y2) {// 调整索引，因为前缀和数组是扩展了的int sum = prefixSum[x2 + 1][y2 + 1]- prefixSum[x1][y2 + 1]- prefixSum[x2 + 1][y1]+ prefixSum[x1][y1];return sum;
}

注意，在查询时，我们需要对原始数组的索引进行加1处理，因为我们的前缀和数组的起始索引是从1开始的，而非0。这种方式简化了边界检查的需求，因为所有的从原点到(x, y)的查询都可以直接使用上面的公式，不再需要特别处理边界情况。

3.二维前缀和数组还原原始数组

前缀和数组是通过累加原始数组中的元素构建的，因此还原原始数组实质上是一个逆累加（或逆差分）的过程。下面是一个实现这一过程的C++函数示例。前缀和数组大小为 (rows + 1) x (cols + 1)，并且我们希望从这个扩展的前缀和数组还原出原始的大小为 rows x cols 的数组：

vector<vector<int>> restoreOriginalArray(const vector<vector<int>>& prefixSum) {int rows = prefixSum.size() - 1;  // 原始数组的行数int cols = prefixSum[0].size() - 1;  // 原始数组的列数vector<vector<int>> originalArray(rows, vector<int>(cols, 0));for (int i = 1; i <= rows; ++i) {for (int j = 1; j <= cols; ++j) {// 还原原始数组的值originalArray[i - 1][j - 1] = prefixSum[i][j]- prefixSum[i - 1][j]- prefixSum[i][j - 1]+ prefixSum[i - 1][j - 1];}}return originalArray;
}

在这个函数中，我们遍历扩展后的前缀和数组，使用类似于查询前缀和的反向过程来计算原始数组的每个元素。每个元素的值是由当前位置的前缀和减去其上方和左侧的前缀和，再加上其左上角（即前一个）的前缀和得到的。这正好是构建前缀和时使用的逆过程。这个函数返回的 originalArray 就是还原后的原始二维数组。

4.完整代码（附测试样例）

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;// 初始化扩展的二维前缀和数组
void initPrefixSum(vector<vector<int>>& prefixSum, const vector<vector<int>>& matrix) {int rows = matrix.size();int cols = matrix[0].size();prefixSum.resize(rows + 1, vector<int>(cols + 1, 0));for (int i = 1; i <= rows; ++i) {for (int j = 1; j <= cols; ++j) {prefixSum[i][j] = matrix[i - 1][j - 1]+ prefixSum[i - 1][j]+ prefixSum[i][j - 1]- prefixSum[i - 1][j - 1];}}
}// 查询扩展的二维前缀和数组中子矩阵的和
int queryPrefixSum(const vector<vector<int>>& prefixSum, int x1, int y1, int x2, int y2) {int sum = prefixSum[x2 + 1][y2 + 1]- prefixSum[x1][y2 + 1]- prefixSum[x2 + 1][y1]+ prefixSum[x1][y1];return sum;
}// 从扩展的二维前缀和数组还原原始数组
vector<vector<int>> restoreOriginalArray(const vector<vector<int>>& prefixSum) {int rows = prefixSum.size() - 1;int cols = prefixSum[0].size() - 1;vector<vector<int>> originalArray(rows, vector<int>(cols, 0));for (int i = 1; i <= rows; ++i) {for (int j = 1; j <= cols; ++j) {originalArray[i - 1][j - 1] = prefixSum[i][j]- prefixSum[i - 1][j]- prefixSum[i][j - 1]+ prefixSum[i - 1][j - 1];}}return originalArray;
}int main() {vector<vector<int>> matrix = {{1, 2, 3},{4, 5, 6},{7, 8, 9}};vector<vector<int>> prefixSum;initPrefixSum(prefixSum, matrix);cout << "Prefix Sum Array:" << endl;for (const auto& row : prefixSum) {for (int val : row) {cout << val << " ";}cout << endl;}int sum = queryPrefixSum(prefixSum, 1, 1, 2, 2); // 查询从(1, 1)到(2, 2)的子矩阵的和cout << "Queried sum: " << sum << endl;vector<vector<int>> restoredArray = restoreOriginalArray(prefixSum);cout << "Restored Original Array:" << endl;for (const auto& row : restoredArray) {for (int val : row) {cout << val << " ";}cout << endl;}return 0;
}