汉明校验

一、简介

汉明码是由 Richard Hanming 于 1950 年提出的，它具有一位纠错能力。

新增的汉明码校验位数应满足如下关系：$2^k⩾n+k+1$，其中k为校验位位数，n位数据位数。

二、汉明码生成

1. 确定校验位的个数与汉明码位数

   使用公式【 $2^k⩾n+k+1$】计算需要的k，其中 k 是检验位的数量，n 是数据位的数量；

   举个逆子：原欲发送数据为：0101，此时我们可得n=4，则欲使$2^k\ge 4+k+1$，k最小为3，即校验位个数为3；则未来将要生成的汉明码位数为原数据4位+3位校验位共7位。

2. 安置校验位

   我们规定：所有的校验位均放置在第$2^n$位，也就是第1、2、4、8…位置等都是校验位，n从0开始，到k-1结束。

   上例中k=3，则校验位的位置为：①$2^0=1$；②$2^1=2$；③$2^2$=4；即3位校验位放在最后要发送数据的第1，第2，第4个位置。

3. 填充数据位:

   在非校验位的其他位置上填写真正的数据，填充后汉明码应如如下形式才对：

   $c_1$	$c_2$	0	$c_3$	1	0	1

   其中$c_1$，$c_2$，$c_3$为待确定值的校验位。

4. 画表计算校验位的值

我们的原则是，位置代表的二进制写好后，每一行值为一的二进制位分为一组；然后，你会发现，每一行校验位的位置是互斥的，只有一个为1。

基于这样的发现，我们让汉明码那一行的未知数放在等式左边，其他已知的数值位放在等式右边进行异或（两个二进制位异或，相同结果为0，不同为1）运算，即可得到对应的校验位的值，如下计算所示：
$$\begin{gathered} C_1=0\oplus 1\oplus 1=0 \\ {C}_2=0\oplus 0\oplus 1=1 \\ {C}_3=1\oplus 0\oplus 1=0 \end{gathered}$$

5. 书写完整的汉明码

   如第四步所计算，结合原来的位置，将校验位的值填充进行，写出完整的汉明码，上例的汉明码为

   0	1	0	0	1	0	1

三、汉明码校验

假设我们收到了0110101，已知这是一个传输出错的汉明码

1. 提取校验位

   0110101总位数为1，则易推得校验位为3位；再根据校验位的插入规则，我们可得到三位校验码分别在第1，2，4位，则可得校验码为010

2. 校验

   我们按照生成校验码时的规则，将原来的分组的各组与其对应的校验码进行异或运算，若为0则表示该位没出错，否则表示出错。

   上述汉明码，我们进行如下计算：
   $$\begin{gathered} p1=0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1 \\ p2=1\oplus 1\oplus 0\oplus 1=1 \\ p3=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1=0 \end{gathered}$$
   欸，汉明码只能纠错1位，那到底是哪一位出错了呢？其实呀，这里并不能只管看出来，但是汉明码的神奇之处就在于，校验后的k位数值的二进制逆序组合转化为十进制表示的数值就是出错的位置。

   如上例，计算完得到$p_1{p}_2{p}_3$=110，我们逆序得到$p_3{p}_2{p}_1$=011，其十进制表示3，那么就是第三位出错了，瞅瞅是不是😁