【LetMeFly】2549.统计桌面上的不同数字：数学O(1) / 模拟O(n^3)
力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/count-distinct-numbers-on-board/
给你一个正整数 n ，开始时，它放在桌面上。在 109 天内，每天都要执行下述步骤：
- 对于出现在桌面上的每个数字
x，找出符合1 <= i <= n且满足x % i == 1的所有数字i。 - 然后，将这些数字放在桌面上。
返回在 109 天之后，出现在桌面上的 不同 整数的数目。
注意：
- 一旦数字放在桌面上，则会一直保留直到结束。
%表示取余运算。例如，14 % 3等于2。
示例 1：
输入：n = 5 输出：4 解释：最开始，5 在桌面上。 第二天，2 和 4 也出现在桌面上，因为 5 % 2 == 1 且 5 % 4 == 1 。 再过一天 3 也出现在桌面上，因为 4 % 3 == 1 。 在十亿天结束时，桌面上的不同数字有 2 、3 、4 、5 。
示例 2：
输入：n = 3 输出：2 解释： 因为 3 % 2 == 1 ，2 也出现在桌面上。 在十亿天结束时，桌面上的不同数字只有两个：2 和 3 。
提示：
1 <= n <= 100
方法一：模拟
每次用 i i i从 1 1 1枚举到 n − 1 n-1 n−1：
每次用 j j j从 1 1 1枚举到 n n n：
如果 j m o d i = = 1 j\mod i == 1 jmodi==1并且 i i i还没有在桌面上，就把 i i i放到桌面上。
直到本次枚举没有新数字被放到桌面上。
- 时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，最多可能枚举 n n n轮
- 空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)
方法二：数学
对于 x ≥ 2 x\geq2 x≥2，一定有 x m o d ( x − 1 ) = 1 x\mod (x-1)=1 xmod(x−1)=1。
如果操作足够都次， n n n、 n − 1 n-1 n−1、 n − 2 n-2 n−2、 ⋯ \cdots ⋯、 2 2 2一定会全部出现在桌子上。
不难发现 n ≤ 100 n\leq 100 n≤100而枚举次数为 1 0 9 10^9 109，每次枚举至少出现一个新数字，因此 1 0 9 10^9 109足够 2 2 2到 n n n的所有数字出现在桌子上。
- 时间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
- 空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
AC代码
C++
class Solution {
public:int distinctIntegers(int n) {return n == 1 ? 1 : n - 1;}
};
Python
class Solution:def distinctIntegers(self, n: int) -> int:return 1 if n == 1 else n - 1
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