算法打卡day23|回溯法篇03|Leetcode 39. 组合总和、40.组合总和II、131.分割回文串

算法题

Leetcode 39. 组合总和

题目链接:39. 组合总和

大佬视频讲解：组合总和视频讲解

个人思路

这道组合题主要是有总和的限制，当递归和超过了总和就return，递归时加上回溯去遍历数组。

解法

回溯法

把组合问题抽象为如下树形结构

如上图，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回

回溯法三部曲

1.递归函数参数

定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。

首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。

此外还需要定义int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，startIndex来控制for循环的起始位置.

关于startIndex的使用：如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，比如组合三。如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例子：Leetcode 77.组合

2.递归终止条件

终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。sum等于target的时候，需要收集结果

3.单层搜索的逻辑

单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。

本题元素为可重复选取的。所以在递归时，i不需要加1。

剪枝

这道题的剪枝就是对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

class Solution {public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();Arrays.sort(candidates); // 先进行排序backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);return res;}public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {// 找到了数字和为 target 的组合if (sum == target) {res.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历if (sum + candidates[i] > target) break;//剪枝path.add(candidates[i]);backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素}}
}

时间复杂度:O(n * 2^n))；（循环n个元素，2^n表示所有可能的子集数量）

空间复杂度:O(n);（递归栈的深度最多为 n）

Leetcode 40.组合总和II

题目链接:40.组合总和II

大佬视频讲解：组合总和II视频讲解

个人思路

这道题的集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合，这是这道题难的关键，思路就是 用一个标记数组标记该元素层次上是否使用过，使用过的就跳过，这样不会出现重复的组合。

解法

回溯法

把组合问题抽象为如下树形结构：

“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。

元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。所以要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。(强调:树层去重的话，需要对数组排序！)

回溯法三部曲

1.递归函数参数

除开存放数组的集合和符合条件的路径, 这道题需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。这个集合去重的重任就是used来完成的。

2.递归终止条件

终止条件为 sum > target 和 sum == target。

其中sum > target 这个条件可以省略，因为在递归单层遍历的时候，会有剪枝的操作.

3.单层搜索的逻辑

如抽线的树形结构，要去重的是“同一树层上的使用过”,判断逻辑如下:

如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。此时for循环里就应该做continue的操作。

所以值为 used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过

used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

因为同一树层，used[i - 1] == false 才能表示，当前取的 candidates[i] 是从 candidates[i - 1] 回溯而来的。而 used[i - 1] == true，说明是进入下一层递归，去下一个数，所以是树枝上

剪枝

当和大于目标值直接返回，即sum + candidates[i] <= target为剪枝操作

class Solution {LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();boolean[] used;int sum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {used = new boolean[candidates.length];// 加标志数组，用来辅助判断同层节点是否已经遍历Arrays.fill(used, false);// 为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序Arrays.sort(candidates);backTracking(candidates, target, 0);return ans;}private void backTracking(int[] candidates, int target, int startIndex) {if (sum == target) {ans.add(new ArrayList(path));}for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {if (sum + candidates[i] > target) {break;}// 出现重复节点，同层的第一个节点已经被访问过，所以直接跳过if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !used[i - 1]) {continue;}used[i] = true;sum += candidates[i];path.add(candidates[i]);// 每个节点仅能选择一次，所以从下一位开始backTracking(candidates, target, i + 1);used[i] = false;sum -= candidates[i];path.removeLast();}}
}

时间复杂度:O(n * 2^n))；（循环n个元素，2^n表示所有可能的子集数量）

空间复杂度:O(n);（递归栈的深度最多为 n）

Leetcode 131.分割回文串

题目链接:131.分割回文串

大佬视频讲解：分割回文串视频讲解

个人思路

既要判断是否为回文子串，还要切割，只能用回溯法了，但不知道如何切割，这是个问题...

解法

回溯法

把组合问题抽象为如下树形结构

其实本题的切割问题类似组合问题。

例如对于字符串abcdef：

组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中再选取第三个.....
切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中再切割第三段.....

回溯法三部曲

1.递归函数参数

全局变量数组path存放切割后回文的子串，二维数组result存放结果集。

本题递归函数参数还需要startIndex，因为切割过的地方，不能重复切割

2.递归函数终止条件

按照切割的思想去看，切割线切到了字符串最后面，说明找到了一种切割方法，此时就是本层递归的终止条件。

那么在代码里什么是切割线呢？其实在处理组合问题的时候，递归参数需要传入startIndex，表示下一轮递归遍历的起始位置，这个startIndex就是切割线。

3.单层搜索的逻辑

在for (int i = startIndex; i < s.size(); i++)循环中，我们定义了起始位置startIndex，那么 [startIndex, i] 就是要截取的子串。

首先判断这个子串是不是回文，如果是回文，就加入path中，path用来记录切割过的回文子串。

注意切割过的位置，不能重复切割，所以，backtracking(s, i + 1); 传入下一层的起始位置为i + 1。

判断回文子串

可以使用双指针法，一个指针从前向后，一个指针从后向前，如果前后指针所指向的元素是相等的，就是回文字符串了。

这里需要一个个判断

class Solution {List<List<String>> result= new ArrayList<>();//结果集Deque<String> path = new LinkedList<>();public List<List<String>> partition(String s) {backTracking(s, 0);return result;}private void backTracking(String s, int startIndex) {//如果起始位置大于s的大小，说明找到了一组分割方案if (startIndex >= s.length()) {result.add(new ArrayList(path));return;}for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {//如果是回文子串，则记录if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {String str = s.substring(startIndex, i + 1);path.addLast(str);} else {continue;}backTracking(s, i + 1);//起始位置后移，保证不重复path.removeLast();}}//判断是否是回文串private boolean isPalindrome(String s, int startIndex, int end) {for (int i = startIndex, j = end; i < j; i++, j--) {if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {return false;}}return true;}
}