算法笔记p414拓扑排序

有向无环图

如果一个有向图的任意顶点都无法通过一些有向边回到自身，那么称这个有向图为有向无环图（DirectedAcyclic Graph，DAG）。

拓扑排序

拓扑排序是将有向无环图G的所有顶点排成一个线性序列，使得对图G中的任意两个顶点u、v，如果存在边u->v，那么在序列中u一定在v前面。这个序列又被称为拓扑序列。

求拓扑排序步骤

定义一个队列Q，并把所有入度为0的结点加入队列(算法笔记p251队列)。
取队首结点，输出。然后删去所有从它出发的边，并令这些边到达的顶点的入度减1，如果某个顶点的入度减为0，则将其加入队列。
反复进行②操作，直到队列为空。
如果队列为空时入过队的结点数目恰好为N，说明拓扑排序成功，图G为有向无环图；否则，拓扑排序失败，图G中有环。

代码实现

可使用邻接表实现拓扑排序。显然，由于需要记录结点的入度，因此需要额外建立一个数组inDegree[MAXV]，并在程序一开始读入图时就记录好每个结点的入度。接下来就只需要按上面所说的步骤进行实现即可，拓扑排序的代码如下：

C++实现：

#include <vector>
#include <queue>#define MAXV 10000using namespace std;vector<int> G[MAXV];             	// 邻接表
int n, inDegree[MAXV];           	// 顶点数、入度// 拓扑排序
bool topologicalSort() {int num = 0;queue<int> q;for (int i = 0; i < n; ++i)if (inDegree[i] == 0)q.push(i);              //将所有入度为0的顶点入队while (!q.empty()) {int u = q.front();          // 取队首顶点u// printf("%d", u);         // 此处可输出顶点u,作为拓扑序列中的顶点q.pop();for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {int v = G[u][i];        // u的后继结点vinDegree[v]--;          // 顶点v的入度减1if (inDegree[v] == 0)   // 顶点v的入度减为0则入队q.push(v);}G[u].clear();               // 清空顶点u的所有出边(如无必要可不写)num++;                      // 加入拓扑序列的顶点数加1}if (num == n) return true;      // 加入拓扑排序的顶点数为n,说明拓扑排序成功else return false;              // 加入拓扑排序的顶点数小于n,说明拓扑排序失败
}

拓扑排序的很重要的应用就是判断一个给定的图是否是有向无环图。正如上面的代码，如果 topologicalSort0函数返回true，则说明拓扑排序成功，给定的图是有向无环图；否则，说明拓扑排序失败，给定的图中有环。
最后指出，如果要求有多个入度为0的顶点，选择编号最小的顶点，那么把queue改成priority_queue（堆实现），并保持队首元素是优先队列中最小的元素即可(算法笔记p335堆)。

C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>#define MaxSize 1000// 图的邻接表实现数据结构定义
typedef int VertexType;
typedef int EdgeType;// 边表结点
typedef struct ArcNode {int adjVertex;            	// 该弧所指向的顶点的位置EdgeType info;            	// 弧的权值struct ArcNode *next;    	// 指向下一条弧的指针
} ArcNode;
// 顶点表结点
typedef struct VertexNode {VertexType data;            // 顶点信息struct ArcNode *first;    	// 指向第一条依附该顶点的弧的指针
} AdjList;
// 图的链式存储(邻接表实现)
typedef struct ALGraph {AdjList vertices[MaxSize];  // 邻接表int verNum, arcNum;         // 顶点数和弧数
} ALGraph;// 循环队列实现的数据结构定义
typedef int ElemType;typedef struct Queue {ElemType data[MaxSize];int front, rear;
} Queue;void init(Queue *q) {q->rear = 0;q->front = 0;
}bool empty(Queue *q) {return q->front == q->rear;
}bool full(Queue *q) {return (q->rear + 1) % MaxSize == q->front;
}bool push(Queue *q, ElemType value) {if (full(q))return false;q->data[q->rear] = value;q->rear = (q->rear + 1) % MaxSize;return true;
}bool pop(Queue *q, ElemType *p) {if (empty(q))return false;*p = q->data[q->front];q->front = (q->front + 1) % MaxSize;return true;
}// 入度
int inDegree[MaxSize];// 计算图中各个顶点的入度
void countInDegree(ALGraph *G) {// 初始化for (int i = 0; i < G->verNum; ++i)inDegree[i] = 0;// 计算入度for (int i = 0; i < G->verNum; ++i) {ArcNode *node = G->vertices[i].first;while (node) {inDegree[node->adjVertex]++;node = node->next;}}
}// 拓扑排序
bool topologicalSort(ALGraph *G) {int num = 0;                            	// 记录加入拓扑排序的顶点数Queue q;                                	// 拓扑队列init(&q);                            		// 初始化队列countInDegree(G);                    		// 计算图的入度for (int i = 0; i < G->verNum; ++i)if (inDegree[i] == 0)push(&q, i);                    	//将所有入度为0的顶点入队while (!empty(&q)) {int u;pop(&q, &u);                        	// 取队首顶点u并出队// printf("%d", u);                 	// 此处可输出顶点u,作为拓扑序列中的顶点ArcNode *i = G->vertices[u].first;while (i) {int v = G->vertices[i->adjVertex].data;inDegree[v]--;                  	// 顶点v的入度减1if (inDegree[v] == 0)           	// 顶点v的入度减为0则入队push(&q, v);i = i->next;}G->vertices[u].first = NULL;         	// 清空顶点u的所有出边(如无必要可不写)num++;                              	// 加入拓扑序列的顶点数加1}if (num == G->verNum) return true;       	// 加入拓扑排序的顶点数为n,说明拓扑排序成功else return false;                      	// 加入拓扑排序的顶点数小于n,说明拓扑排序失败
}