第一门课：神经网络和深度学习 (Neural Networks and Deep Learning)

第二周：神经网络的编程基础 (Basics of Neural Network programming)

2.5 导数（Derivatives）

这个视频我主要是想帮你获得对微积分和导数直观的理解。或许你认为自从大学毕以后你再也没有接触微积分。这取决于你什么时候毕业，也许有一段时间了，如果你顾虑这点，请不要担心。为了高效应用神经网络和深度学习，你并不需要非常深入理解微积分。因此如果你观看这个视频或者以后的视频时心想：“哇哦，这些知识、这些运算对我来说很复杂。”我给你的建议是：坚持学习视频，最好下课后做作业，成功的完成编程作业，然后你就可以使用深度学习了。在第四周之后的学习中，你会看到定义的很多种类的函数，通过微积分他们能够帮助你把所有的知识结合起来，其中有的叫做前向函数和反向函数，因此你不需要了解所有你使用的那些微积分中的函数。所以你不用担心他们，除此之外在对深度学习的尝试中，这周我们要进一步深入了解微积分的细节。所有你只需要直观地认识微积分，用来构建和成功的应用这些算法。最后，如果你是精通微积分的那一小部分人群，你对微积分非常熟悉，你可以跳过这部分视频。其他同学让我们开始深入学习导数。

一个函数𝑓(𝑎) = 3𝑎，它是一条直线。下面我们来简单理解下导数。让我们看看函数中几个点，假定𝑎 = 2，那么𝑓(𝑎)是𝑎的 3 倍等于 6，也就是说如果𝑎 = 2，那么函数𝑓(𝑎) = 6。假定稍微改变一点点𝑎的值，只增加一点，变为 2.001，这时𝑎将向右做微小的移动。0.001 的差别实在是太小了，不能在图中显示出来，我们把它右移一点，现在𝑓(𝑎)等于𝑎的 3 倍是 6.003，画在图里，比例不太符合。请看绿色高亮部分的这个小三角形，如果向右移动 0.001，那么𝑓(𝑎)增加 0.003，𝑓(𝑎)的值增加 3 倍于右移的𝑎，因此我们说函数𝑓(𝑎)在𝑎 = 2，.是这个导数的斜率，或者说，当𝑎 = 2时，斜率是 3。导数这个概念意味着斜率，导数听起来是一个很可怕、很令人惊恐的词，但是斜率以一种很友好的方式来描述导数这个概念。所以提到导数，我们把它当作函数的斜率就好了。更正式的斜率定义为在上图这个绿色的小三角形中，高除以宽。即斜率等于 0.003 除以 0.001，等于 3。或者说导数等于 3，这表示当你将𝑎右移 0.001，𝑓(𝑎)的值增加 3 倍水平方向的量。

现在让我们从不同的角度理解这个函数。假设𝑎 = 5 ，此时𝑓(𝑎) = 3𝑎 = 15。把𝑎右移一个很小的幅度，增加到 5.001，𝑓(𝑎) = 15.003。 即在𝑎 = 5 时，斜率是 3，这就是表示，当微小改变变量𝑎的值，𝑑𝑓(𝑎)/𝑑𝑎= 3 。一个等价的导数表达式可以这样写 𝑑𝑓(𝑎) /𝑑𝑎，不管你是否将𝑓(𝑎)放在上面或者放在右边都没有关系。

在这个视频中，我讲解导数讨论的情况是我们将𝑎偏移 0.001，如果你想知道导数的数学定义，导数是你右移很小的𝑎值（不是 0.001，而是一个非常非常小的值）。通常导数的定义是你右移𝑎(可度量的值)一个无限小的值，𝑓(𝑎)增加 3 倍（增加了一个非常非常小的值）。也就是这个三角形右边的高度。

那就是导数的正式定义。但是为了直观的认识，我们将探讨右移𝑎 = 0.001 这个值，即使 0.001 并不是无穷小的可测数据。导数的一个特性是：这个函数任何地方的斜率总是等于3，不管𝑎 = 2或 𝑎 = 5，这个函数的斜率总等于 3，也就是说不管𝑎的值如何变化，如果你增加 0.001，𝑓(𝑎)的值就增加 3 倍。这个函数在所有地方的斜率都相等。一种证明方式是无论你将小三角形画在哪里，它的高除以宽总是 3。

我希望带给你一种感觉：什么是斜率？什么是导函数？对于一条直线，在例子中函数的斜率，在任何地方都是 3。在下一个视频让我们看一个更复杂的例子，这个例子中函数在不同点的斜率是可变的。

2.6 更多的导数例子（More Derivative Examples）

在这个视频中我将给出一个更加复杂的例子，在这个例子中，函数在不同点处的斜率是不一样的，先来举个例子:

我在这里画一个函数，𝑓(𝑎) = $a^2$，如果𝑎 = 2 的话，那么𝑓(𝑎) = 4。让我们稍稍往右推进一点点，现在𝑎 = 2.001 ，则𝑓(𝑎) ≈ 4.004 (如果你用计算器算的话，这个准确的值应该为 4.004。0.001 我只是为了简便起见，省略了后面的部分)，如果你在这儿画，一个小三角形 你就会发现，如果把𝑎往右移动 0.001，那么𝑓(𝑎)将增大四倍，即增大 0.004。在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率，称为𝑓(𝑎)在点𝑎 = 2 处的导数(即为 4)，或者写成微积分的形式，当𝑎 = 2 的时候， 𝑑𝑓(𝑎)/𝑑𝑎 = 4 由此可知，函数𝑓(𝑎) = 𝑎2，在𝑎取不同值的时候，它的斜率是不同的，这和上个视频中的例子是不同的。

这里有种直观的方法可以解释，为什么一个点的斜率，在不同位置会不同如果你在曲线上，的不同位置画一些小小的三角形你就会发现，三角形高和宽的比值，在曲线上不同的地方，它们是不同的。所以当𝑎 = 2 时，斜率为 4；而当𝑎 = 5时，斜率为 10 。如果你翻看微积分的课本，课本会告诉你，函数𝑓(𝑎) = $a^2$的斜率（即导数）为2𝑎。这意味着任意给定一点𝑎，如果你稍微将𝑎，增大 0.001，那么你会看到𝑓(𝑎)将增大2𝑎，即增大的值为点在𝑎处斜率或导数，乘以你向右移动的距离。

现在有个小细节需要注意，导数增大的值，不是刚好等于导数公式算出来的值，而只是根据导数算出来的一个估计值。
为了总结这堂课所学的知识，我们再来看看几个例子：

假设𝑓(𝑎) = $a^3$ 如果你翻看导数公式表，你会发现这个函数的导数，等于$3a^2$。所以这是什么意思呢，同样地举一个例子：我们再次令𝑎 = 2，所以$a^3$ = 8 ，如果我们又将𝑎增大一点点，你会发现𝑓(𝑎) ≈ 8.012，你可以自己检查一遍，如果我们取 8.012，你会发现2.0013 ，和 8.012 很接近，事实上当𝑎 = 2时，导数值为3 × $2^2$，即3 × 4 = 12。所以导数公式，表明如果你将𝑎向右移动 0.001 时，𝑓(𝑎) 将会向右移动 12 倍，即 0.012。

来看最后一个例子，假设𝑓(𝑎) = log𝑒𝑎，有些可能会写作ln𝑎，函数log𝑎 的斜率应该为1/𝑎，所以我们可以解释如下：如果𝑎取任何值，比如又取𝑎 = 2，然后又把𝑎向右边移动 0.001 那么𝑓(𝑎)将增大1/𝑎× 0.001，如果你借助计算器的话，你会发现当𝑎 = 2时𝑓(𝑎) ≈ 0.69315 ；
而𝑎 = 2.001时，𝑓(𝑎) ≈ 0.69365。所以𝑓(𝑎)增大了 0.0005，如果你查看导数公式，当𝑎 = 2的时候，导数值 𝑑𝑓(𝑎) /𝑑𝑎 =1/2。这表明如果你把 增大 0.001，𝑓(𝑎)将只会增大 0.001 的二分之一，即 0.0005。如果你画个小三角形你就会发现，如果𝑥 轴增加了 0.001，那么𝑦 轴上的函
数log𝑎，将增大 0.001 的一半 即 0.0005。所以 1𝑎 ，当𝑎 = 2时这里是 ，就是当𝑎 = 2时这条线的斜率。这些就是有关导数的一些知识。

在这个视频中，你只需要记住两点：
第一点，导数就是斜率，而函数的斜率，在不同的点是不同的。在第一个例子中𝑓(𝑎) =3𝑎 ，这是一条直线，在任何点它的斜率都是相同的，均为 3。但是对于函数𝑓(𝑎) = $a^2$ ，或者𝑓(𝑎) = log𝑎，它们的斜率是变化的，所以它们的导数或者斜率，在曲线上不同的点处是不同的。

第二点，如果你想知道一个函数的导数，你可参考你的微积分课本或者维基百科，然后你应该就能找到这些函数的导数公式。
最后我希望，你能通过我生动的讲解，掌握这些有关导数和斜率的知识，下一课我们将讲解计算图，以及如何用它来求更加复杂的函数的导数。

2.7 计算图（Computation Graph）

可以说，一个神经网络的计算，都是按照前向或反向传播过程组织的。首先我们计算出一个新的网络的输出（前向过程），紧接着进行一个反向传输操作。后者我们用来计算出对应的梯度或导数。计算图解释了为什么我们用这种方式组织这些计算过程。在这个视频中，我们将举一个例子说明计算图是什么。让我们举一个比逻辑回归更加简单的，或者说不那么正式的神经网络的例子。

我们尝试计算函数𝐽，𝐽是由三个变量𝑎, 𝑏, 𝑐组成的函数，这个函数是3(a + bc) 。计算这个函数实际上有三个不同的步骤，首先是计算 𝑏 乘以 𝑐，我们把它储存在变量𝑢中，因此𝑢 = 𝑏𝑐； 然后计算𝑣 = 𝑎 + 𝑢；最后输出𝐽 = 3𝑣，这就是要计算的函数𝐽。我们可以把这三步画成如下的计算图，我先在这画三个变量𝑎, 𝑏, 𝑐，第一步就是计算𝑢 = 𝑏𝑐，我在这周围放个矩形框，它的输入是𝑏, 𝑐，接着第二步𝑣 = 𝑎 + 𝑢，最后一步𝐽 =3𝑣。

举个例子: 𝑎 = 5, 𝑏 = 3, 𝑐 = 2 ，𝑢 = 𝑏𝑐就是 6，就是 5+6=11。𝐽是 3 倍的 ，因此。即3 × (5 + 3 × 2)。如果你把它算出来，实际上得到 33 就是𝐽的值。 当有不同的或者一些特殊的输出变量时，例如本例中的𝐽和逻辑回归中你想优化的代价函数𝐽，因此计算图用来处理这些计算会很方便。从这个小例子中我们可以看出，通过一个从左向右的过程，你可以计算出𝐽的值。为了计算导数，从右到左（红色箭头，和蓝色箭头的过程相反）的过程是用于计算导数最自然的方式。

概括一下：计算图组织计算的形式是用蓝色箭头从左到右的计算，让我们看看下一个视频中如何进行反向红色箭头(也就是从右到左)的导数计算，让我们继续下一个视频的学习。

2.8 使用计算图求导数（Derivatives with a Computation Graph）

在上一个视频中，我们看了一个例子使用流程计算图来计算函数𝐽。现在我们看看流程图的描述，看看你如何利用它计算出函数𝐽的导数。

假设你要计算$\frac{dJ}{dv}$，那要怎么算呢？好，比如说，我们要把这个𝑣值拿过来，改变一下，那么𝐽的值会怎么变呢？

所以定义上𝐽 = 3𝑣，现在𝑣 = 11，所以如果你让𝑣增加一点点，比如到 11.001，那么𝐽 =3𝑣 = 33.003，所以我这里𝑣增加了 0.001，然后最终结果是𝐽上升到原来的 3 倍，所以$\frac{dJ}{dv}$= 3，因为对于任何 𝑣 的增量𝐽都会有 3 倍增量，而且这类似于我们在上一个视频中的例子，我们有𝑓(𝑎) = 3𝑎，然后我们推导出$\frac{d}{da}$𝑓(𝑎)= 3，所以这里我们有𝐽 = 3𝑣，所以$\frac{dJ}{dv}$= 3，这里𝐽扮演了𝑓的角色，在之前的视频里的例子。

在反向传播算法中的术语，我们看到，如果你想计算最后输出变量的导数，使用你最关心的变量对𝑣的导数，那么我们就做完了一步反向传播，在这个流程图中是一个反向步。

我们来看另一个例子，$\frac{dJ}{da}$是多少呢？换句话说，如果我们提高𝑎的数值，对𝐽的数值有什么影响？

好，我们看看这个例子。变量𝑎 = 5，我们让它增加到 5.001，那么对𝑣的影响就是𝑎 + 𝑢,之前𝑣 = 11，现在变成 11.001，我们从上面看到现在𝐽就变成 33.003 了，所以我们看到的是，如果你让𝑎增加 0.001，𝐽增加 0.003。那么增加𝑎，我是说如果你把这个 5 换成某个新值，那么𝑎的改变量就会传播到流程图的最右，所以𝐽最后是 33.003。所以𝐽的增量是 3 乘以𝑎的增量，意味着这个导数是 3。

要解释这个计算过程，其中一种方式是：如果你改变了𝑎，那么也会改变𝑣，通过改变𝑣，也会改变𝐽，所以𝐽值的净变化量，当你提升这个值（0.001），当你把𝑎值提高一点点，这就是𝐽的变化量（0.003）。

首先𝑎增加了，𝑣也会增加，𝑣增加多少呢？这取决于$\frac{dv}{da}$，然后𝑣的变化导致𝐽也在增加，所以这在微积分里实际上叫链式法则，如果𝑎影响到𝑣，𝑣影响到𝐽，那么当你让𝑎变大时，𝐽的变化量就是当你改变𝑎时，𝑣的变化量乘以改变𝑣时𝐽的变化量，在微积分里这叫链式法则。

我们从这个计算中看到，如果你让𝑎增加 0.001，𝑣也会变化相同的大小，所以$\frac{dv}{da}$= 1。事实上，如果你代入进去，我们之前算过$\frac{dJ}{dv}$= 3，$\frac{dv}{da}$= 1，所以这个乘积 3×1，实际上就给出了正确答案，$\frac{dJ}{da}$= 3。

现在我想介绍一个新的符号约定，当你编程实现反向传播时，通常会有一个最终输出值是你要关心的，最终的输出变量，你真正想要关心或者说优化的。在这种情况下最终的输出变量是𝐽，就是流程图里最后一个符号，所以有很多计算尝试计算输出变量的导数，所以输出变量对某个变量的导数，我们就用𝑑𝑣𝑎𝑟命名，所以在很多计算中你需要计算最终输出结果的导数，在这个例子里是𝐽，还有各种中间变量，比如𝑎、𝑏、𝑐、𝑢、𝑣，当你在软件里实现的时候，变量名叫什么？你可以做的一件事是，在 python 中，你可以写一个很长的变量名，比如𝑑𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑣𝑎𝑟_𝑑𝑣𝑎𝑟，但这个变量名有点长，我们就用𝑑𝐽_𝑑𝑣𝑎𝑟，但因为你一直对𝑑𝐽求导，对这个最终输出变量求导。我这里要介绍一个新符号，在程序里，当你编程的时候，在代码里，我们就使用变量名𝑑𝑣𝑎𝑟，来表示那个量。

好，所以在程序里是𝑑𝑣𝑎𝑟表示导数，你关心的最终变量𝐽的导数，有时最后是𝐿，对代码中各种中间量的导数，所以代码里这个东西，你用𝑑𝑣表示这个值，所以𝑑𝑣 = 3，你的代码表示就是𝑑𝑎 = 3。

好，所以我们通过这个流程图完成部分的后向传播算法。我们在下一张幻灯片看看这个例子剩下的部分。

我们清理出一张新的流程图，我们回顾一下，到目前为止，我们一直在往回传播，并计算𝑑𝑣 = 3，再次，𝑑𝑣是代码里的变量名，其真正的定义是$\frac{dJ}{dv}$。我发现𝑑𝑎 = 3，再次，𝑑𝑎是代码里的变量名，其实代表$\frac{dJ}{da}$的值。

同理我们可以计算出
$$db=\frac{dJ}{db}=\frac{dJ}{dv}\frac{dv}{du}\frac{du}{db}=3\ast 1\ast c=3\ast 1\ast 2=6$$

$$dc=\frac{dJ}{dc}=\frac{dJ}{dv}\frac{dv}{du}\frac{du}{dc}=3\ast 1\ast b=3\ast 1\ast 3=9$$