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前言

对学习的二叉树的知识进行总结。

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一、树型结构

1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。**把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。**它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 知识点

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次；
• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空。
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 **2^(i-1)(i>0)**个结点。

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)。

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

   • 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点。
   • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子。
   • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子。

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} /
/ 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历
   学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
   
   在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

2. 层序遍历
   层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.5.2 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);