题目

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包，每种物品都有无限件可用。
第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i$, $w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

分析

状态表示

用一个数组f[i][j]来表示只看前i个物品，在总体积是j的情况下，总价值最大是多少。
那么，题目要求在背包容量为V的条件下，从N件物品中选取物品使得的总价值最大，状态表示应为f[N][V].

状态计算

在进行状态计算之前，先得对状态做一个划分。对于01背包，f[i][j]的状态只有两种：

不选第i个物品	选第i个物品
f[i-1][j]	f[i-1][j-v[i]] + w[i]

取两种状态的最大值
对于完全背包，物品可以取无限个，不过k最多为v
那么状态可以划分为：

不选第i个物品（选0个）	选1个第i个物品	选2个第i个物品	…	选k个第i个物品
f[i-1][j]	f[i-1][j-v[i]] + w[i]	f[i-1][j-2*v[i]] + 2*w[i]	…	f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]

找到这些状态的最大值即可。
因此，我们只需要在0-1背包的基础上，多循环一次k

#include<iostream>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int f[N][N], v[N], w[N];int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ )cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 0; j <= m; j ++ )for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);//求出每一个 f[i][j]cout << f[n][m] << endl;
}

优化

上面的算法时间复杂度过高。
回顾下状态切分 对于f[i][j]来说

不选第i个物品	选1个第i个物品	选2个第i个物品	选3个第i个物品
f[i-1][j]	f[i-1][j-v[i]] + w[i]	f[i-1][j-2*v[i]] + 2*w[i]	f[i-1][j-3*v[i]] + 3*w[i]

而巧就巧在f[i][j-v[i]]的状态划分为

不选第i个物品	选1个第i个物品	选2个第i个物品
f[i-1][j-v[i]]	f[i-1][j-2*v[i]] + w[i]	f[i-1][j-3*v[i]] + 2*w[i]

我们发现，f[i][j]中选择1–k个第i个物品和f[i][j-v[i]]中选择k–1个第i个物品正好是对应的（只相差w[i]）
因此，对于f[i][j]，选择k个第i个物品的最大值为f[i][j-v[i]] + w[i]，我们不再需要循环k个物品了，状态划分简化为：

不选第i个物品	选择k个第i个物品
f[i-1][j]	f[i][j-v[i]] + w[i]

取二者的最大值即可。
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1002;
int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];int main(){cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j];if (j >= v[i]) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}