PTA天梯 L2-001 紧急救援

作为一个城市的应急救援队伍的负责人，你有一张特殊的全国地图。在地图上显示有多个分散的城市和一些连接城市的快速道路。每个城市的救援队数量和每一条连接两个城市的快速道路长度都标在地图上。当其他城市有紧急求助电话给你的时候，你的任务是带领你的救援队尽快赶往事发地，同时，一路上召集尽可能多的救援队。

输入格式:
输入第一行给出 $4$ 个正整数 $N 、 M 、 S 、 D$ ，其中 $N （ 2 \leq N \leq 500 ）$ 是城市的个数，顺便假设城市的编号为 $0 (N - 1)$ ， $M$ 是快速道路的条数， $S$ 是出发地的城市编号， $D$ 是目的地的城市编号。

第二行给出 $N$ 个正整数，其中第 $i$ 个数是第 $i$ 个城市的救援队的数目，数字间以空格分隔。随后的 $M$ 行中，每行给出一条快速道路的信息，分别是：城市1、城市2、快速道路的长度，中间用空格分开，数字均为整数且不超过 $500$ 。输入保证救援可行且最优解唯一。

输出格式:
第一行输出最短路径的条数和能够召集的最多的救援队数量。第二行输出从 $S$ 到 $D$ 的路径中经过的城市编号。数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
20 30 40 10
0 1 1
1 3 2
0 3 3
0 2 2
2 3 2

输出样例:

2 60
0 1 3

首先明确：本题考察图论最短路问题，由于边权全为正数，且为稀疏图，故使用堆优化djikstra。

要求的量为：最短路径的个数，在所有最短路中能够召集的救援人员的数量，且要求记录下能够召集最多人员的路径。

接下来开始考虑问题：

如何存图？ 可以使用邻接表或者vector，在此题解中使用了vector来存图
如何记录最短路的个数？ 这里使用一个数组，假如将其命名为roadCnt[]，那么roadCnt[i]存储的是从起点到i点的最短路的数量，之后在djikstra的过程中，我们在发现有更短的路径的时候就更新掉roadCnt[]，在发现有相同等级的最短路的时候就让roadCnt[]加上另一个路径引过来的roadCnt[]。
如何记录在所有最短路径中能够召集的救援人员的数量？ 同样使用一个数组，将其命名为personNow[]，使personNow[i]代表从起点到 $i$ 点的最短路中能够召集的最多的救援人员数量，同时我们还要有读入每个城市救援人员数量的数组person[]，在起点的时候要把personNow[s]初始化为person[s]，之后在dijkstra的过程中，每次发现一个最短路，就使personNow[next] = personNow[pre] + person[next]，注意其必须满足在最短路径中。之后在发现一个距离和当前最短路相等的新的最短路的时候，我么进行判断，如果新的最短路能够召集的人员更多的话，就将personNow[]更新。
如何记录路径？ 此乃老生常谈，仅需要一个pre[]数组，pre[i] = j就代表j的上一个点是i，最终我们输出路径的时候只需要从终点开始，顺藤摸瓜，反着输出所有点即可。注意需要对pre[]数组进行初始化。

注意题目已经规定好了起点和终点，别再傻傻的从0开始搜搜到n点。

那么所有问题已经明了了，就要进行代码实现：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
const int N = 510;struct Edge {int to, w;
};
vector<Edge>edges[N];		//二维结构体vector存图int dis[N];					//记录从起点到当前点的距离
bool st[N];					//标记当前点有没有搜过
int roadCnt[N];				//记录最短路数量
int personNow[N];			//记录最大救援人员召集数量
int pre[N];					//记录路径
int person[N];				//记录每个城市的救援人员数量int n, m, s, d;				void dijkstra() {			//dijkstra函数memset(pre, -1, sizeof pre);		//首先对pre[]数组进行初始化memset(dis, 0x3f, sizeof dis);	dis[s] = 0;					//题目已经规定好了起点roadCnt[s] = 1;				//路径数起码为1personNow[s] = person[s];	//初始化person[起点]priority_queue< PII, vector<PII>, greater<PII> >heap;	//定义小根堆heap.push({ 0,s });	//first:距离 	second:当前点while (heap.size()) {auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;if (st[ver])continue;	//如果已经搜过了，就直接跳else st[ver] = 1;for (auto p : edges[ver]) {	//遍历边int to = p.to;	//指向的下一个点int w = p.w;	//边权if (dis[to] > dis[ver] + w) {		//如果边更短dis[to] = dis[ver] + w;			//更新边heap.push({ dis[to],to });		//压入堆roadCnt[to] = roadCnt[ver];		//更新最短路数量pre[to] = ver;					//记录路径,personNow[to] = personNow[ver] + person[to];//}else if (dis[to] == dis[ver] + w) {	//如果是相同距离最短路if (personNow[to] < personNow[ver] + person[to]) {	//如果这条最短路能够得到更多的人pre[to] = ver;									//更新路径和最大人员数量personNow[to] = personNow[ver] + person[to];}roadCnt[to] += roadCnt[ver];	//加上}}}
}int main() {cin >> n >> m >> s >> d;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> person[i];}while (m--) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;edges[u].push_back({ v,w });		//无向图，存两条边edges[v].push_back({ u,w });}dijkstra();cout << roadCnt[d] << " " << personNow[d];	//输出最短路数量和最大人员数量puts("");vector<int>path;		//存答案路径，以倒着输出path.push_back(d);d = pre[d];while (d != -1) {path.push_back(d);d = pre[d];}for (int i = path.size() - 1; i >= 0; i--) {if (i != 0)cout << path[i] << " ";else cout << path[i];}return 0;
}