【洛谷 P8720】[蓝桥杯 2020 省 B2] 平面切分 题解(计算几何+集合+向量)

[蓝桥杯 2020 省 B2] 平面切分

题目描述

平面上有 N N N 条直线, 其中第 i i i 条直线是 y = A i ⋅ x + B i y=A_{i} \cdot x+B_{i} y=Aix+Bi

请计算这些直线将平面分成了几个部分。

输入格式

第一行包含一个整数 N N N

以下 N \mathrm{N} N 行, 每行包含两个整数 A i , B i A_{i}, B_{i} Ai,Bi

输出格式

一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 1
2 2
3 3

样例输出 #1

6

提示

对于 50 % 50 \% 50% 的评测用例, 1 ≤ N ≤ 4 , − 10 ≤ A i , B i ≤ 10 1 \leq N \leq 4,-10 \leq A_{i}, B_{i} \leq 10 1N4,10Ai,Bi10

对于所有评测用例, 1 ≤ N ≤ 1000 , − 1 0 5 ≤ A i , B i ≤ 1 0 5 1 \leq N \leq 1000,-10^5 \leq A_{i}, B_{i} \leq 10^5 1N1000,105Ai,Bi105

蓝桥杯 2020 第二轮省赛 B 组 I 题


思路

首先,定义几个数据类型和常量。ll定义为long longpii定义为pair<double, double>

读取直线的数量 n n n。然后,定义一个set来存储所有的直线,每条直线用一个二元组(斜率和截距)表示。这里使用set的目的是为了保证所有的直线都是唯一的,因为set会自动删除重复的元素。接着,将set中的直线复制到一个vector中,方便后续的遍历。

然后,定义一个变量ans来存储最终的结果。初始值设为2,因为一条直线至少可以将平面分为两个部分。

接下来,遍历vector中的每一条直线,对于每一条直线,都定义一个新的set来存储与其他直线的交点。这里使用set的目的是为了自动删除重复的交点。

在计算交点时,首先检查两条直线是否平行,如果平行,则没有交点,直接跳过。否则,通过两条直线的斜率和截距计算出交点,并将交点添加到set中。

最后,将set的大小加1后加到ans中。这是因为,每增加 n n n个交点,就会多出 n + 1 n+1 n+1个新的部分。

遍历完所有的直线后,输出ans,这就是最终的结果。

注意

因为斜率等参数不一定是整数,应该使用 double 来存储数据,否则无法通过测试点。


AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <set>
#include <vector>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<double, double>;const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;int n;
set<pii> s1;
vector<pii> v1;int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {double a, b;cin >> a >> b;s1.insert({a, b});}for (const auto i : s1) {v1.push_back(i);}// 一条线能分出两个部分ll ans = 2;for (int i = 1; i < v1.size(); i++) {set<pii> s2;for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {double k1 = v1[i].first;double k2 = v1[j].first;double b1 = v1[i].second;double b2 = v1[j].second;if (k1 == k2) {// 平行,无交点continue;}// 求交点double x = (b2 - b1) / (k2 - k1);double y = k1 * x + b1;s2.insert({x, y});}// 每多n个交点,就多n+1个部分ans += s2.size() + 1;}cout << ans << "\n";return 0;
}

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