算法日记——前缀和、差分

文章目录

洛谷 B3612 求区间和
洛谷 P1387 最大正方形
洛谷 P3397 地毯

洛谷 B3612 求区间和

题目链接：洛谷 B3612 求区间和
思路： 一维前缀和的模板题。所谓前缀和，就是对原数组前i个元素求和，这个值作为新元素放在下标i的位置。
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int a[N], sum[N];
int main()
{int n, m;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];sum[i] += sum[i - 1] + a[i];}cin >> m;while (m--){int l, r;cin >> l >> r;cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;}return 0;
}

时间复杂度 $O (n)$
空间复杂度 $O (n)$

洛谷 P1387 最大正方形

题目链接： 洛谷 P1387 最大正方形
思路： 本题有两种方法，一种是利用二位前缀和，另一种是利用动态规划。
代码如下：
（前缀和）

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 105;
int a[N][N], s[N][N]; 
int ans;//保存最大边长
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];}//枚举起点和边长for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 1; j <= m; j ++ )for (int l = 1; l <= min(n, m); l ++ ){int x = i + l - 1, y = j + l - 1;//正方形右下角坐标if (x > n || y > m || s[x][y] - s[x][j - 1] - s[i - 1][y] + s[i - 1][j - 1] != l * l) {break;}if (ans < l) ans = l;}cout << ans << endl;return 0;
}

时间复杂度 $O (mn l)$
空间复杂度 $O(n^2)$

（动态规划）

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int a[N][N], f[N][N]; //f[i][j]表示以节点i, j为右下角，可构成的最大正方形的边长。
int ans;
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];if (a[i][j] == 1) {f[i][j] = min(f[i - 1][j - 1], min(f[i - 1][j], f[i][j - 1])) + 1;}ans = max(ans, f[i][j]);}cout << ans << endl;return 0;
}

时间复杂度 $O(n^2)$
空间复杂度 $O(n^2)$

洛谷 P3397 地毯

题目链接： 洛谷 P3397 地毯
思路： 算是二维差分的模板题吧。所谓差分也就是前缀和的逆运算，也就是说，我们对差分数组求前缀和后得到的数组就是原数组。
代码如下：

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
int n, m;
int b[N][N], s[N][N];//b为差分数组，s为原数组（对差分数组求前缀和）int main()
{cin >> n >> m;while (m--){int x1, y1, x2, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;b[x1][y1] += 1;b[x1][y2 + 1] -= 1;b[x2 + 1][y1] -= 1;b[x2 + 1][y2 + 1] += 1;}for(int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j++){s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + b[i][j];}for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {for (int j = 1; j <= n; j ++ )cout << s[i][j] << " ";cout << endl;}return 0;
}