整数拆分

思路分析：

1.dp[i]的含义是分拆数字i之后，得到的最大乘积为dp[i].

2.确定递推公式

拆分出的数可能为2个，或两个以上。

拆分结果必定是小于这个数本身，最小为1。

j从1开始遍历，拆分出的数字逐渐变大，但要找出所有拆分结果乘积中的最大的那个，一边比较，一边继续遍历和拆分，直到找到所有拆分结果中乘积最大的那个为止，返回最大乘积。

递推公式：dp[i] = max{dp[i], (i-j)*j,dp[i - j] * j};

3.初始化，dp[1]和dp[0]初始化没有意义，初始化dp[2]=1;

4.确定遍历顺序

由于dp[i]依赖于dp[i - j]的状态，所以遍历i是从前往后的，也就是说，先有了dp[i - j]才有了dp[i].

拆分0无意义，应该从1开始。

拆分一个数n使之乘积最大，那么一定是拆成m个近似相同的子数相乘才是最大的，m的大小一定是大于等于2的。（可求证）

由上面可以知道，j遍历到n/2即可，超过n/2就找不到近似相等的子数，一定不是最大值。

class Solution{
public:int interBreak(int n){vector<int>dp(n+1);dp[2]=1;for(int i = 3; i <= n; i++){for(int j = 1;j <= n/2 ;j++){dp[i] = max(dp[i],max((i - j)*j,dp[i - j]*j));}}return dp[n];}
};

不同的二叉搜索树

思路分析：

找出递推关系：

子树上有2个元素就有2种排序的方式，只是比如1,2.可能是1放在2的左子树，也可能是

2放在1的右子树。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

（相乘是因为，左右子树的情况有一个变化，都会使二叉树变化，因此左子树的所有可能情况*右子树的所有可能情况）

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

将上面三种可能相加就是所有可能的分布。

dp[3] = dp[2]*dp[0]+dp[1]*dp[1]+dp[0]*dp[2]

1.dp[i]的含义是从1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i].

2.递推公式：dp[i]=dp[以j为头节点的左子树节点数量]*dp[以j为头节点的右子树节点数量]

即：dp[i]=dp[j-1]*dp[i - j];

j - 1，i - j表示上述递归过程中左子树的节点数量不断减少，右子树数量不断增加，直到左子树数量变为0，右子树数量达到总结点数 - 1

初始化：dp[0] = 1 空树状态，满足上面递推公式

4.遍历顺序：以i作为头节点，j用来遍历当i为头节点时的状态。

class Solution{
public:int numTree(int n){vector<int>dp(n+1);dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++){//以i为头节点for(int j =1; j <= i; j++){dp[i] += dp[j - 1]*dp[i - j];//左子树节点数为j-1时，右子树节点数为i - j,左右子树可能的情况数目之积即为所有可能的二叉树分布}}return dp[n];}
};