摘要: 生成函数的性质

【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，原创文章】
我的网站：潮汐朝夕的生活实验室
我的公众号：潮汐朝夕
我的知乎：潮汐朝夕
我的github：FennelDumplings
我的leetcode：FennelDumplings

---

生成函数即母函数，有时也叫形式幂级数。是组合数学中的一个重要理论和工具。

生成函数的一个重要线索来自于 18 世纪欧拉对整数分拆问题的研究，其中有了一些生成函数思想的雏形（该项研究同样也是卷积和的思想来源的线索）。

最早提出母函数的是法国数学家拉普拉斯，他在其 1812 年出版的《概率的分析理论》中明确提出“概率生成函数的计算”，书中对欧拉的整数分拆的研究做了延伸。生成函数的理论由此基本建立。

生成函数可以对组合对象进行计数，也可以作为分析工具去求解递归式。求解递归式的过程中，最关键的一步是在递归式的基础上，做各种变形，去凑生成函数的性质，得到生成函数满足的微分方程或函数方程。

下面我们不加证明地罗列普通生成函数和指数生成函数的常用性质，在凑的时候要用到，背是背不下来的，用到的时候可以查。

普通生成函数 (OGF)

OGF 的性质

普通生成函数常用于无标记的组合结构的计数问题。

记 $A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$、$B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$：

性质	公式
数列的相加	$A(z)+B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n+b_n)z^n$
数列的数乘	$\alpha A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha a_n{z}^n$
数列的卷积(OGF的相乘)	$A(z)B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k})z^n$
数列的差分	$(1-z)A(z)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n-1})z^n$
数列的部分和	$\frac{A(z)}{1-z}=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^n{a}_k)z^n$
数列的右移(OGF乘自变量)	$zA(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n-1}{z}^n$
数列的左移(OGF除自变量)	$\frac{A(z)-a_0}{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n+1}{z}^n$
OGF的导数(数列乘下标)	$A^{\prime }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{z}^n$
OGF的积分(数列除下标)	${\int }_0^{z}A(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_{n-1}}{n-1}{z}^n$
OGF自变量的比例因子	$A(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\lambda }^n{a}_n{z}^n$
OGF的复合	$A(B(z))=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(B(z){)}^n$，要求 $b_0=0$

常见数列的 OGF

数列 $a_n$	OGF $A(z)$
$a_n=1$	$A(z)=\frac{1}{1-z}$
$a_n=n$	$A(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$
$a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$	$A(z)=\frac{z^2}{(1-z{)}^3}$
$a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$	$A(z)=\frac{z^m}{(1-z{)}^{m+1}}$
$a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)$	$A(z)=(1+z{)}^m$
$a_{2k}=1,a_{2k+1}=0$	$A(z)=\frac{1}{1-z^2}$
$a_n=c^n$	$A(z)=\frac{1}{1-cz}$
$a_n=\frac{1}{n!}$	$A(z)=e^z$
$a_n=\frac{1}{n}$	$A(z)=-\ln (1-z)$
$a_n=H_n$	$A(z)=\frac{1}{1-z}\ln \frac{1}{1-z}$
$a_n=n(H_n-1)$	$A(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}\ln \frac{1}{1-z}$

指数生成函数 (EGF)

指数型生成函数常用于有标记的组合结构的计数问题。

记 $A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\frac{z^n}{n!}$、$B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n\frac{z^n}{n!}$：

EGF 的性质

性质	公式
数列的相加	$A(z)+B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n+b_n)\frac{z^n}{n!}$
数列的数乘	$\alpha A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha a_n\frac{z^n}{n!}$
数列的二项卷积(EGF的相乘)	$A(z)B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k{b}_{n-k})\frac{z^n}{n!}$
数列的差分	$A^{\prime }(z)-A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n+1}-a_n)\frac{z^n}{n!}$
数列的二项部分和	$e^{z}A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k)\frac{z^n}{n!}$
数列的右移(EGF的积分)	${\int }_0^{z}A(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n-1}\frac{z^n}{n!}$
数列的左移(EGF的导数)	$A^{\prime }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n+1}\frac{z^n}{n!}$
EGF乘自变量(数列乘下标)	$zA(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_{n-1}\frac{z^n}{n!}$
EGF除自变量(数列除下标)	$\frac{A(z)-A(0)}{z}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_{n+1}}{n+1}\frac{z^n}{n!}$

常见数列的 EGF

数列 $a_n$	EGF $A(z)$
$a_n=1$	$A(z)=e^z$
$a_n=n$	$A(z)=z{e}^z$
$a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$	$A(z)=\frac{1}{2}{z}^2{e}^z$
$a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$	$A(z)=\frac{1}{m!}{z}^m{e}^z$
$a_{2k}=1,a_{2k+1}=0$	$A(z)=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$
$a_n=c^n$	$A(z)=e^{cz}$
$a_n=\frac{1}{n}$	$A(z)=\frac{e^z-1}{z}$
$a_n=n!$	$A(z)=\frac{1}{1-z}$