【算法与数据结构】583、72、LeetCode两个字符串的删除操作+编辑距离

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一、583、两个字符串的删除操作
二、72、编辑距离
三、完整代码

所有的LeetCode题解索引，可以看这篇文章——【算法和数据结构】LeetCode题解。

一、583、两个字符串的删除操作

在这里插入图片描述

思路分析：本题的思路和115、不同的子序列差不多，只是变成了两个字符串都能删除字符。

第一步，动态数组的含义。 $d p [i] [j]$ 代表使得 $w or d 1 [0, i - 1]$ 和 $w ro d 2 [0, j - 1]$ 相等所需删除的最小步数。
第二步，递推公式。 $d p [i] [j]$ 可以由两种情况推导出来：

$w or d 1 [i - 1]$ 与 $w or d 2 [j - 1]$ 相同：那么最小步数和使得 $w or d 1 [0, i - 2]$ 和 $w ro d 2 [0, j - 2]$ 相等所需删除的最小步数相同。 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j - 1]$ 。
$w or d 1 [i - 1]$ 与 $w or d 2 [j - 1]$ 不相同：这种情况的 $d p [i] [j]$ 可以由三部分构成：若 $w or d 1 [0, i - 2]$ 和 $w or d 2 [0, j - 1]$ 做了 $d p [i - 1] [j]$ 次删除操作以后会相等，那么再删除 $w or d 1 [i - 1]$ 以后又可以相等，即 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j] + 1$ ；若 $w or d 1 [0, i - 1]$ 和 $w or d 2 [0, j - 2]$ 做了 $d p [i] [j - 1]$ 次删除操作以后会相等，那么再删除 $w or d 2 [j - 1]$ 以后又可以相等，即 $d p [i] [j] = d p [i] [j - 1] + 1$ 。因为要求最小步数，那么我们对两项取最小： $d p [i] [j] = min (d p [i - 1] [j] + 1, d p [i] [j - 1] + 1)$ 。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;

第三步，元素初始化。 $d p [i] [0]$ （第一列）表示字符串 $w or d 1 [0, i - 1]$ 变成空字符串需要删除的最小字符个数。 $d p [0] [j]$ （第一行）表示 $w or d 2 [0, j - 1]$ 变成空字符串需要删除的最小字符个数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 $d p [0] [0] = 0, d p [i] [0] = i, d p [0] [j] = j$ 。

		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
第五步，打印结果。

在这里插入图片描述

程序如下：

// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为ifor (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n * m)$ ， $n$ 和 $m$ 分别是两个字符串的长度。
空间复杂度： $O (n * m)$ 。

二、72、编辑距离

在这里插入图片描述

思路分析：本题在583题的基础之上加入了插入和替换操作。我们同样用动态规划的方法分析。

第一步，动态数组的含义。 $d p [i] [j]$ 代表使得 $w or d 1 [0, i - 1]$ 和 $w ro d 2 [0, j - 1]$ 相等所需的最小操作数。
第二步，递推公式。 $d p [i] [j]$ 可以由两种情况推导出来：

$w or d 1 [i - 1]$ 与 $w or d 2 [j - 1]$ 相同：那么最小操作数和使得 $w or d 1 [0, i - 2]$ 和 $w ro d 2 [0, j - 2]$ 相等所需的最小操作数相同。 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j - 1]$ 。
$w or d 1 [i - 1]$ 与 $w or d 2 [j - 1]$ 不相同：这种情况的 $d p [i] [j]$ 可以由三部分构成：增加、删除和替换。删除部分和583题一致： $d p [i] [j] = min (d p [i - 1] [j] + 1, d p [i] [j - 1] + 1)$ 。而增加字符和删除的操作数没有区别。若 $w or d 1 [0, i - 2]$ 和 $w or d 2 [0, j - 2]$ 做了 $d p [i - 1] [j - 1]$ 次删除操作以后会相等，那么再替换 $w or d 1 [i - 1]$ 或者 $w or d 2 [j - 1]$ 之间任意一个元素以后又可以相等，即 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j - 1] + 1$ 。因为要求最小操作数，那么我们对两项取最小： $d p [i] [j] = min (d p [i - 1] [j] + 1, d p [i] [j - 1] + 1, d p [i - 1] [j - 1] + 1) = min (d p [i - 1] [j], d p [i] [j - 1], d p [i - 1] [j - 1]) + 1$ 。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;

第三步，元素初始化。 $d p [i] [0]$ （第一列）表示字符串 $w or d 1 [0, i - 1]$ 变成空字符串需要的最少操作数。 $d p [0] [j]$ （第一行）表示 $w or d 2 [0, j - 1]$ 变成空字符串需要的最少操作数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 $d p [0] [0] = 0, d p [i] [0] = i, d p [0] [j] = j$ 。

	for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
第五步，打印结果。

在这里插入图片描述

程序如下：

// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:int minDistance(string word1, string word2) {vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为ifor (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n * m)$ ， $n$ 和 $m$ 分别是两个字符串的长度。
空间复杂度： $O (n * m)$ 。

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
using namespace std;// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为ifor (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:int minDistance(string word1, string word2) {vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为ifor (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为ifor (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};int main() {//string word1 = "sea", word2 = "eat";	// 测试案例//Solution s1;//int result = s1.minDistance(word1, word2);string word1 = "horse", word2 = "ros";	// 测试案例Solution2 s1;int result = s1.minDistance(word1, word2);cout << result << endl;system("pause");return 0;
}