参考资料：用python动手学统计学

1、t统计量

t统计量的计算公式为：

其中，为样本均值，μ为总体均值，为实际样本的无偏标准差，N为样本容量。

t统计量的公式与标准化公式类似。t统计量可以理解为对样本均值进行标准化。

2、模拟t分布

2.1 获取t值

# 导入库
import pandas as pd
import numpy as np
import scipy as sp
from scipy import statsimport matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 建立均值为4，标准差为0.8的正态总体
pop=stats.norm(loc=4,scale=0.8)# 设置随机种子，用于复现结果
np.random.seed(1)
# 添加数组用于存放t值
t_value_array=np.zeros(10000)
# 模拟抽样获取t值，并存放至数组
for i in range(0,10000):sample=pop.rvs(size=10)sample_mean=np.mean(sample)sample_std=np.std(sample,ddof=1)sample_se=sample_std/np.sqrt(len(sample))t_value_array[i]=(sample_mean-4)/sample_se

2.1 绘制t值分布的直方图

sns.set()
# t值分布直方图，并添加核密度曲线
sns.histplot(t_value_array,kde=True,stat='density')
# 绘制标准正态分布的概率密度曲线
x=np.arange(-8,8.1,0.1)
y=stats.norm.pdf(x=x) # 默认为均值为0，标准差为1的正态分布
plt.plot(x,y,linestyle=":")

       由上图可以看到实线的t分布核密度曲线和虚线的标准正态分布曲线二者没有完全重合。

3、t分布的自由度

若样本容量为N，则N-1为t分布的自由度。当样本容量越大，t分布就约接近于标准正态分布。

4、t分布概率密度曲线和标准正态分布概率密度曲线对比图

x=np.arange(-8,8.1,0.1)
y_u=stats.norm.pdf(x)   # 标准正态分布概率密度 
y_t=stats.t.pdf(x,df=9) # 自由度为9的t分布概率密度
plt.plot(x,y_t,linestyle="-")
plt.plot(x,y_u,linestyle=":")

       t分布相对于标准正态分布更扁平，这是因为t分布以均值的标准误为除数。另外，t分布的数据范围较标正态分布的范围稍大一些，也就是更容易出现远离均值的数据。

5、t分布的意义

      t分布的意义就是在总体方差未知时也可以研究样本均值的分布。