2861. 最大合金数

题目描述：

假设你是一家合金制造公司的老板，你的公司使用多种金属来制造合金。现在共有 n 种不同类型的金属可以使用，并且你可以使用 k 台机器来制造合金。每台机器都需要特定数量的每种金属来创建合金。

对于第 i 台机器而言，创建合金需要 composition[i][j] 份 j 类型金属。最初，你拥有 stock[i] 份 i 类型金属，而每购入一份 i 类型金属需要花费 cost[i] 的金钱。

给你整数 n、k、budget，下标从 1 开始的二维数组 composition，两个下标从 1 开始的数组 stock 和 cost，请你在预算不超过 budget 金钱的前提下，最大化 公司制造合金的数量。

所有合金都需要由同一台机器制造。

返回公司可以制造的最大合金数。

示例 1：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,0], cost = [1,2,3]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 1 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 2 份第 1 类金属。
- 2 份第 2 类金属。
- 2 份第 3 类金属。
总共需要 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 = 12 的金钱，小于等于预算 15 。
注意，我们最开始时候没有任何一类金属，所以必须买齐所有需要的金属。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

示例 2：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,100], cost = [1,2,3]
输出：5
解释：最优的方法是使用第 2 台机器来制造合金。 
要想制造 5 份合金，我们需要购买： 
- 5 份第 1 类金属。
- 5 份第 2 类金属。 
- 0 份第 3 类金属。 
总共需要 5 * 1 + 5 * 2 + 0 * 3 = 15 的金钱，小于等于预算 15 。 
可以证明在示例条件下最多可以制造 5 份合金。

示例 3：

输入：n = 2, k = 3, budget = 10, composition = [[2,1],[1,2],[1,1]], stock = [1,1], cost = [5,5]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 3 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 1 份第 1 类金属。
- 1 份第 2 类金属。
总共需要 1 * 5 + 1 * 5 = 10 的金钱，小于等于预算 10 。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

提示：

• 1 <= n, k <= 100
• 0 <= budget <= 10^8
• composition.length == k
• composition[i].length == n
• 1 <= composition[i][j] <= 100
• stock.length == cost.length == n
• 0 <= stock[i] <= 10^8
• 1 <= cost[i] <= 100

思路：

乍一看，背包？？

文字题果然让人头晕。把握重点：

1. 所有合金都需要由同一台机器制造
2. 数组下标从 1 开始
3. 不是背包问题！

外循环遍历composition[i],寻找机器：
对于某一机器而言，具体的找最大的合金数可以使用二分法，思路看代码注释，一目了然！
对于初始最大值的确定，要注意到条件，即另加价格至少为1，因此stock[0]+budget是最大的数量。 

代码：

class Solution:def maxNumberOfAlloys(self, n: int, k: int, budget: int, composition: List[List[int]], stock: List[int], cost: List[int]) -> int:ans = 0#最大合金数for c in composition:#遍历机器#左指针0件合金，右指针指向预算按照每个零件最低价1元的价格来买所能得到的最多合金数l, r = 0, budget + stock[0]while l < r:#mid=(l+r+1)/2mid = (l + r + 1) >> 1#计算mid份合金的总花销s = sum(max(0, mid * x - y) * z for x, y, z in zip(c, stock, cost))#如果大于预算，则说明mid大了，最大的合金数在左侧区域if s <= budget:l = midelse:r = mid - 1ans = max(ans, l)#也很重要，如果都不可以，还是要和l比大小，因为可能最终在这一轮里都没找到，#但还是要和往次的ans进行比较return ans

效率：

时间复杂度 O(n×k×log⁡M)，其中 M是二分查找的上界；

空间复杂度O(1)

官解其他语言版本：

C++

class Solution {
public:int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, vector<vector<int>>& composition, vector<int>& stock, vector<int>& cost) {int left = 1, right = 2e8, ans = 0;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;bool valid = false;for (int i = 0; i < k; ++i) {long long spend = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) {spend += max(static_cast<long long>(composition[i][j]) * mid - stock[j], 0LL) * cost[j];}if (spend <= budget) {valid = true;break;}}if (valid) {ans = mid;left = mid + 1;}else {right = mid - 1;}}return ans;}
};

Java:

class Solution {public int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, List<List<Integer>> composition, List<Integer> stock, List<Integer> cost) {int left = 1, right = 200000000, ans = 0;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;boolean valid = false;for (int i = 0; i < k; ++i) {long spend = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) {spend += Math.max((long) composition.get(i).get(j) * mid - stock.get(j), 0) * cost.get(j);}if (spend <= budget) {valid = true;break;}}if (valid) {ans = mid;left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return ans;}
}

这里官解的最大值就索性用了一个超大的数来确定，这对于二分影响不大。