前情提要

  在做单分类的时候，一般模型的最后一层是线性层Linear做分类器，输出在每个标签上的logits。损失函数为交叉熵损失函数，会对logits进行Softmax之后累计损失。

  为了理论基础和严谨，复习下求导运算。

交叉熵损失函数

  交叉熵函数在pytorch上的详细原理与实验验证请见博客：【pytorch】交叉熵损失函数 F.cross_entropy()。

  交叉熵损失函数公式如公式（1）所示：

$$\begin{array}{r}L=-\sum _i^{N}labe{l}_i\times \ln a_i\end{array}$$

  其中，$labe{l}_i$是真实标签，也就是标签的one-hot编码，是一维常量。$a_i$是经过了Softmax的概率logits，是一维向量。累计计算$N$个样本的值，即可得到最终结果。

  $a_i$计算公式如公式（2）公式（3）：

$$\begin{array}{rl}{a}_i& =Softmax(z_i)\\ & =\frac{e^{z_i}}{{\sum }_k^M{e}^{z_k}}\end{array}$$

  其中，$z_i$是全连接层的输出logits中的第$i$个，是一维向量。

对Softmax函数求导

  因为交叉熵损失函数中包含了Softmax函数，所以先求导Softmax。

  对于公式（3），输入$z_i$是全连接层的输出logits中的第$i$个，所以我们对$z_i$求导。但是因为Softmax公式的的分母包含了所有元素，所以为了方便计算，我们搞一个新变量，对$z_j$求导。

  观察公式（3）的形状可知，Softmax函数是形如$\frac{g(x)}{h(x)}$的函数，它的求导公式如公式（4）所示：

$$\begin{array}{r}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-h^{\prime }(x)g(x)}{h^2(x)}\end{array}$$

  所以要得到Softmax的导数只需要知道$e^{z_i}$与$\sum e^{z_k}$的导数即可。

  ·当$i=j$时，$e^{z_i}$对$z_j$求偏导结果为$e^{z_i}$或者$e^{z_j}$都可以，因为$i=j$；
  ·当$i\ne j$时，$e^{z_i}$对$z_j$求偏导结果为0，因为此刻$z_i$和$z_j$是两个不同的变量，所以求导为0；
  ·$\sum e^{z_k}$对$z_j$求偏导结果为$e^{z_k}$，因为求和项里面总有一个$e^{z_k}$。

  于是当$i=j$时，Softmax公式求导过程如公式（5）：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}& =\frac{\partial \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z_k}}}{\partial z_j}\\ & =\frac{e^{z_i}\cdot \sum e^{z_k}-e^{z_i}\cdot e^{z_j}}{(\sum e^{z_k}{)}^2}\\ & =\frac{e^{z_i}}{\sum e^{z_k}}-\frac{e^{z_i}}{\sum e^{z_k}}\cdot \frac{e^{z_j}}{\sum e^{z_k}}\\ & =a_i(1-a_j)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  当$i\ne j$时，Softmax公式求导过程如公式（6）：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}& =\frac{\partial \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z_k}}}{\partial z_j}\\ & =\frac{0\cdot \sum e^{z_k}-e^{z_i}\cdot e^{z_j}}{(\sum e^{z_k}{)}^2}\\ & =-\frac{e^{z_i}}{\sum e^{z_k}}\cdot \frac{e^{z_j}}{\sum e^{z_k}}\\ & =-a_i{a}_j\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

对交叉熵损失函数求导

  对交叉熵损失函数求导可以一直顺利的求到分类讨论前，如公式（7）所示。其中$labe{l}_i$是常数，所以提出来了。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L}{\partial z_j}& =\frac{\partial L}{\partial a_i}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\\ & =-labe{l}_i\frac{\partial (\sum \ln a_i)}{\partial a_i}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\\ & =-labe{l}_i(\sum \frac{1}{a_i})\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

  接下来分类讨论：

    ·当$i=j$时：

$$=-labe{l}_i\frac{1}{a_i}{a}_i(1-a_j)=-labe{l}_i(1-a_j)\text{\hspace{1em}(8)}$$

    ·当$i\ne j$时：

$$=-labe{l}_i\sum _{i\ne j}\frac{1}{a_i}(-a_i{a}_j)=labe{l}_i\sum _{i\ne j}{a}_j\text{\hspace{1em}(9)}$$

  然后就会发现式（8）和式（9）相加就会把式（9）少的那个$a_j$拼回去，于是式（7）最终求导为：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L}{\partial z_j}& =\frac{\partial L}{\partial a_i}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\\ & =-labe{l}_i\frac{\partial (\sum \ln a_i)}{\partial a_i}\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\\ & =-labe{l}_i(\sum \frac{1}{a_i})\frac{\partial a_i}{\partial z_j}\\ & =-labe{l}_i[1-a_j-\sum _{i\ne j}{a}_j]\\ & =labe{l}_i[\sum a_j-1]\\ & =labe{l}_i\sum a_j-labe{l}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$