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1. Tarjan

一个讲的很好的视频：D10 Tarjan算法 P3379【模板】最近公共祖先（LCA）_哔哩哔哩_bilibili，董晓算法出品。

Tarjan总体来说可以概括为：

1. 记录访达：记录某个节点是否已经访问过，防环
2. 向下深搜：深搜子节点
3. 回溯指父：低层回溯时将子节点归于当前父节点所在等价类中
4. 离时查询：本层向上回溯时查询与当前节点所有相关的LCA，记录答案

package Tarjan.LCA;import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;public class TarjanLCA {private List<Integer>[] e;private List<int[]>[] query;private int[] fa;private boolean[] vis;private int[] ans;/*** 求LCA* @param edge 边集* @param queries 查询* @param n 总共几个节点* @return 查询对应的LCA集合*/public int[] Tarjan(int[][] edge,int[][] queries,int n,int root){e = new ArrayList[n];Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>());query = new ArrayList[n];Arrays.setAll(query,e->new ArrayList<>());fa = new int[n];for (int i = 0; i < fa.length; i++) {fa[i] = i;}vis = new boolean[n];Arrays.fill(vis,false);ans = new int[queries.length];// 邻接表建边for (int[] es : edge) {e[es[0]].add(es[1]);e[es[1]].add(es[0]);}// tarjan 查询数组for (int i = 0; i < queries.length; i++) {int[] qs = queries[i];query[qs[0]].add(new int[]{qs[1],i});query[qs[1]].add(new int[]{qs[0],i});}dfs(root);return ans;}private void dfs(int node){vis[node] = true;for (Integer child : e[node]) {if(!vis[child]){dfs(child);fa[child] = node;}}// 向上一层返回时记录LCAfor (int[] q : query[node]) {if(vis[q[0]]){ans[q[1]] = find(q[0]);}}}private int find(int x){if(fa[x]!=x){fa[x] = find(fa[fa[x]]);}return fa[x];}}

这里有几个要注意的地方：

1. 查询数组记得要对称设置，比如查3，4的lca，3要放1个，4也要放1个。因为到底哪个先深搜到是不确定的。比如就放了3的，那如果先深搜到3，发现此时4压根就没指父过（压根没访问到），这个查询对应的答案就没法记录了。所以都放一个绝对可以防止深搜顺序的不确定性。
2. 并查集的路径压缩并不会影响查询结果。因为是回溯时查询，所以绝对是从低层起的，随着逐渐往根处的回溯，并查集中等价类会逐渐向根扩张，并以根为祖宗节点。

这里放一个例子，可以对照代码手玩一下：

     	    0/   \4     3/|\     \1 5 6     8/ \2   7

测试用例可自选。

1. LC 2846 边权重均等查询

树的定义是连通无回路的图，所以会有以下性质：

1. 任意两个节点间有且仅有一条通路
2. 任意节点至多有一个父节点

所以要查询任意两个节点之间的最小操作次数，可以唯一地确定答案。因为这两个节点之间存在且仅只存在一条通路。

这个贪心其实很显然，就是对于一条链，让其他权重向频率最大的那个靠近即可。比如这条链上的权重为：

[ 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 ]

很显然答案是把1和3全部变成2，操作次数是3。

那么怎么计算这条链上的操作次数呢？这里定义i→j为从节点i到节点j上的链上各权重出现频次。计算公式为：

op(i->j) = ∑(op(0->i) + op(0->j) - 2*op(0->lca(i,j)))
其中lca表示最近公共祖先

举个例子：

            0/   \4     3/|\     \1 5 6     8/ \2   7

1. 假设我们要看6→7这条链，那么可以计算 0→6 + 0→7 - 0→4 - 0→4的各权重出现频次。因为0→4多算了两次那么这个公式是否具有普适性呢？
2. 假设现在要看4→3这条链，可以计算0→4+0→3 - 2* 0→0，也是适用的。

所以思路就是，我们先通过深搜，求出来每个节点到根节点（一颗无向树，谁都可以作为根节点，不妨设为0）0的链上各权重出现频次。然后利用tarjan求出来每组查询的公共祖先，带入上述公式计算即可。

深搜求频次的思路是：由于本层递归比上一层就多了一个上一层节点到本层节点的权重，因此我们可以复制上一层节点（本层节点的父节点）的各权重频次，再在当前权重上增1即可。

而利用性质2，可以简单的记录fa节点判环。但tarjan是不能这样做的，因为需要明确离时查询时另一个节点是否已经访问，并不只是简单的判环功能。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;class Solution {List<int[]>[] e;List<int[]>[] qs;int[][] cnt;int[] lca;int[] fa;boolean[] vis;int[] ans;public int[] minOperationsQueries(int n, int[][] edges, int[][] queries) {e = new ArrayList[n];qs = new ArrayList[n];Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>());Arrays.setAll(qs,e->new ArrayList<>());int u,v,w;//邻接表for (int[] edge : edges) {u = edge[0];v = edge[1];w = edge[2];e[u].add(new int[]{v,w});e[v].add(new int[]{u,w});}// tarjan 查询for (int i = 0; i < queries.length; i++) {int[] q = queries[i];qs[q[0]].add(new int[]{q[1],i});qs[q[1]].add(new int[]{q[0],i});}cnt = new int[n][26];cnt_dfs(0,-1,0);lca = new int[queries.length];fa = new int[n];for (int i = 0; i < fa.length; i++) {fa[i] = i;}vis = new boolean[n];Arrays.fill(vis,false);tarjan(0);ans = new int[queries.length];calAns(queries);return ans;}private void cnt_dfs(int node,int father,int weight){if(father!=-1){cnt[node] = Arrays.copyOf(cnt[father],26);cnt[node][weight-1]++;}for (int[] child : e[node]) {if(child[0]!=father){cnt_dfs(child[0],node,child[1]);}}}private void tarjan(int node){vis[node] = true;for (int[] child : e[node]) {if(!vis[child[0]]){tarjan(child[0]);// tarjan 回溯指父fa[child[0]] = node;}}// 离时查询for (int[] q : qs[node]) {if(vis[q[0]]){lca[q[1]] = find(q[0]);}}}private int find(int x){if(fa[x]!=x){fa[x] = find(fa[fa[x]]);}return fa[x];}private void calAns(int[][] queries){int sum,max;for (int index = 0; index < queries.length; index++) {sum = 0;max = Integer.MIN_VALUE;int u = queries[index][0];int v = queries[index][1];for(int i=0;i<26;i++){int freq = cnt[u][i] + cnt[v][i] - 2*cnt[lca[index]][i];sum += freq;max = Math.max(freq,max);}ans[index] = sum-max;}}}