Peter算法小课堂—拓扑排序与最小生成树

拓扑排序

讲拓扑排序前,我们要先了解什么是DAG树。所谓DAG树,就是指“有向无环图”。请判断下列图是否是DAG图

第一幅图,它不是DAG图,因为它形成了一个环。第二幅图,它也不是DAG图,因为它没有方向。第三幅图才叫真正的DAG图(DAG图不一定联通)。

那什么叫DAG图的拓扑排序呢?排序大家都知道。拓扑排序指,按照一定次序(箭头方向)来遍历这幅图。

我们看道题吧。

太戈编程877题

题目描述:

你是一个电子游戏高手,正在研究一款新的游戏。该游戏共有n种关卡有待解锁,编号1到n。你发现关卡的解锁有m条依赖关系,第i条为:解锁关卡ai前必须先解锁关卡bi。请你为n个关卡设计一个可行的解锁顺序,若有多个可行解请输出字典序最小解。本题保证有解。

这道题中,我们怎样画这幅图呢?我们遵守一个原则“若u和v有一条有向边,说明u必须在v之前访问”。那具体怎么解决呢?下面我们介绍两种方法:Kahn算法和DFS实现。

Kahn算法

代码:

cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;cin>>a>>b;if(d[b][a]) continue;//d[b][a]代表b要在a之前完成。易错点:重边处理d[b][a]=1;in[a]++;//in[a]代表关卡a的入度
}
for(int k=1,i;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++) if(!vst[i]&&in[i]==0) break;topo[++cnt]=i;vst[i]=cnt;//vst[i]代表关卡i是否已解锁for(int j=1;j<=n;j++)if(d[i][j]) d[i][j]=0,in[j]--;
}
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<topo[i]<<" ";

时空复杂度:O(N^2)

DFS

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10009;
vector<int> to[N];
int n,m,topo[N],cnt;
bool vst[N];
void dfs(int x){vst[x]=1;for(int i=0;i<to[N].size();i++){if(!vst[to[x][i]]) dfs(to[x][i]);}topo[n-cnt]=x;cnt++;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int u,v;cin>>u>>v;to[u].push_back(v);}for(int i=1;i<=n;i++) if(!vst[i])dfs(i);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<topo[i]<<" ";return 0;
}

我推荐使用DFS啊。练习:158、586。

后面来到我们的正(难)题:Minimum Spanning Tree 最小生成树

最小生成树

简称MST

在无向图中,任意两个顶点都有路径相通,称为连通图

连通图的生成树是包含原图n个顶和n-1条边的一棵树

最小生成树的所有边的长度综合是生成树里最小的

n个顶点的生成树有n-1条边,若再添加一条边,必定成环

大家算一下下列MST权值

答案:15 7。我们注意到第一幅图有6个点,也就是生成树有5条边,312564。第二幅图有4个点,生成树有3条边,1423。

下面,我们将要教大家如何解决最小生成树问题

Kruskal算法

贪心:每次找最短边,尝试加入最小生成树。

所以,大家要先会并查集,不会的小彭友看Peter算法小课堂—并查集-CSDN博客

给大家一个标程啊。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=109;
const int M=5009;
struct edge{int u,v,w;};
edge e[M];
int n,m,id[N];
int root(int u){return id[u]==u?u:id[u]=root(id[u]);
}
bool cmp(const edge&a,const edge&b){return a.w<b.w;
}
void Kruskal(){sort(e,e+m,cmp);for(int u=1;u<=n;u++) id[u]=u;int ans=0;for(int k=0;k<m;k++){int ru=root(e[k].u);int rv=root(e[k].v);if(ru==rv) continue;id[ru]=rv;ans+=e[k].w;}cout<<ans<<endl;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++)cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;Kruskal();return 0;
}

那有的人就会疑惑,为什么Kruskal算法能找到MST呢?下面给出证明。

请你证明:Kruskal选的第1条边e1一定在某棵MST中。

证:假设存在1棵不包含e1的MST记作T。向T中添加e1,必定成环。环中必有边长不小于e1的边f,删除f。新的生成树T+e1-f的边长总和不超过T,不符合最小条件。

可视化网址:最小生成树 MST (Prim算法,Kruskal算法) - VisuAlgo

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