【算法基础数学】快速幂

题目描述

给定 $n$ 组 $a_i,b_i,p_i$ ，对于每组数据，求出 $a_i^{b^i}~mod~p_i$ 的值。

样例

输入样例：

2
3 2 5
4 3 9

输出样例：

4
1

快速幂解决的问题

用来解决快速的求解 $a^k~mod$ $p$ 的结果
时间复杂度为 $O (l o g k)$

原理（反复平方法）

预处理出来这些值：
$a^{2^0}~mod~p$
$a^{2^1}~mod~p$
$a^{2^2}~mod~p$
$...$
$a^{2^{logk}}~mod~p$

大概是logk个

则 $a^k$ 可以表示为前面分解的这些数的某些数的乘积
则 $k$ 可以表示为 $2$ 的若干次幂的和
（利用k的二进制表示）
$a^k =a^{2^{x_1}}a^{2^{x_2}}...a^{2^{x_t}} =a^{2^{x_1}+2^{x_2}+...+2^{x_t}}$

如何求 $a^x$ ？
$a^1~=~a$
$a^{2^1}~=~(a^{1})^2$
$a^{2^2}~=~(a^{2^1})^2$
$...$
$a^{2^{logk}}~=~(a^{2^{logk}-1})^2$

也就是说，后一个数都是前一个数的平方
也就是经过k次迭代，就可以把这些数分解出来了
其实就是看k的二进制表示里面，哪些位是1，把1对应的这些位对应的数乘起来就可以了

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;LL qmi(int a, int k, int p){LL res = 1 % p;while(k){if(k & 1) res = res * a % p;    //如果最后一位是1，乘上a^2^a%pa = a * (LL)a % p;  //a向后迭代，继续平方k >>= 1;    //把k的最后以为删掉}return res;
}int main(){int n, a, b, p;cin >> n;while(n--){scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);printf("%lld\n", qmi(a, b, p));}return 0;
}