最小实现和互质分式

2023年12月12日

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1. 实现问题

如果对应一传递函数矩阵 $G(s)$ ，存在相应的状态空间描述，则称该传递函数矩阵 $G(s)$ 是可实现的。
许多设计方法以及控制算法都是采用状态空间描述的。一旦传递函数用状态空间描述来表示的话，就可以用运算放大器来实现。如果传递函数是可以实现的，则就会有许多种实现形式，并且其阶也可以不同。对应最小阶的实现称为最小实现。
最小实现运放电路使用的积分器是最少的。
特征多项式不一样，不是代数等价的系统。
实现问题：由输入输出描述确定状态空间描述的问题
系统微分方程
$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=b_m{u}^{(m)}+b_{m-1}{u}^{(m-1)}+\cdots +b_1{u}^{(1)}+b_{0}u$$
其传递函数
$$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}m\le n$$
都为外部描述。
实现的存在条件：
$m\le n$
当 $m<n$ 时，直接传输矩阵 $D=0$ ;
当 $m>n$ ，输出将含有输入信号的直接微分项。这在实际系统中是不允许的（不稳定），状态空间表达式也无法表示

实现的非唯一性：
会有无穷多个状态空间表达式，实现给定的输入输出关系。没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现
因为没有零、极点对消的传递函，求得的状态空间表达式的阶数是最小的

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2. SISO严格正则系统的实现

严格正则就是分子阶数小于分母阶数。
对传递函数
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0}$$
所谓互质，即分子分母因式分解后没有能相消的项。

2.1 能控标准1型实现

选取状态变量
$$V(s)=\frac{U(s)}{D(s)},Y(s)=N(s)V(s)$$
$$x_1(t)=v(t),x_2(t)=\dot{v}(t),\cdots$$
$$y(t)={\beta }_{n-1}{x}_n(t)+\cdots +{\beta }_1{x}_2(t)+{\beta }_0{x}_1(t)$$
$$u(t)={\dot{x}}_n(t)+{\alpha }_{n-1}{x}_n(t)+\cdots +{\alpha }_1{x}_2(t)+{\alpha }_0{x}_1(t)$$
可以写出
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -{\alpha }_0& -{\alpha }_1& \dots & -{\alpha }_{n-2}& -{\alpha }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u(t)\\ & \\ y(t)=& \left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \dots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\end{array}$$

• 该能控标准型方程能观，当且仅当 $D(s)$ 与 $N(s)$ 互质。

此时，传递函数与系统矩阵的特征方程
$$D(s)=|sI-A|$$
标准一型的矩阵又叫友矩阵，如果求得所有特征值两两互异，则可以通过坐标变换将系统矩阵化为对角规范型，且变换矩阵为范德蒙德矩阵
$$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& {\lambda }_3\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& {\lambda }_3^2\end{array}\right],\bar{A}=P^{-1}AP$$

2.2 能观标准2型实现

选取状态变量
$$\{\begin{array}{ll}{x}_n=y& \\ & \\ {\dot{x}}_1=-{\alpha }_{0}y+{\beta }_{0}u& \\ & \\ x_i={\dot{x}}_{i+1}+{\alpha }_{i}y-{\beta }_{i}u& i=1,3,\cdots ,n\end{array}$$
可以写出
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& -{\alpha }_0\\ 1& 0& 0& 0& -{\alpha }_1\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0& -{\alpha }_2\\ 0& 0& \dots & 0& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -{\alpha }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_{n-2}\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right]u(t)\\ & \\ y(t)=& \left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\end{array}$$
可以发现，能观标准2型系统就是能控标准1型的对偶系统，即能控标准1型 $(A,B,C)$ 有能观标准2型 $(A^{\mathrm{T}},C^{\mathrm{T}},B^{\mathrm{T}})$ 。

• 该能观标准型方程能控，当且仅当 $D(s)$ 与 $N(s)$ 互质。

2.3 能观标准1型实现

$$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx$$
可以通过变换
$$\bar{x}=T_{O1}x,T_{O1}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$
变换得到能观标准一型实现。
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -{\alpha }_0& -{\alpha }_1& \dots & -{\alpha }_{n-2}& -{\alpha }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ ⋮\\ {\beta }_{n-2}\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right]u(t)\\ & \\ y(t)=& \left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\end{array}$$

2.4 能控标准2型实现

$$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx$$
可以通过变换
$$\bar{x}=T_{C2}^{-1}x,T_{C2}=[bAb\cdots A^{n-1}b]$$
变换得到能控标准二型实现。
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& -{\alpha }_0\\ 1& 0& 0& 0& -{\alpha }_1\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0& -{\alpha }_2\\ 0& 0& \dots & 0& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -{\alpha }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]u(t)\\ & \\ y(t)=& \left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \cdots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\end{array}$$
$${\beta }_0=Cb,{\beta }_1=CAb,\cdots ,{\beta }_{n-1}=C{A}^{n-1}b$$

2.5 最小实现

状态空间方程 $(A,B,C,D)$ 为正则有理函数 $G(s)$ 的最小实现，当且仅当 $(A,B)$ 能控且 $(A,C)$ 能观。或当且仅当：
$$\dim A=\mathrm{deg}G(s)$$
$$由互质分式写出的能控能观标准型\iff 最小实现\iff 既能控又能观$$
设 $(A,B,C,D)$ 和 $(\bar{A},\bar{B},\bar{C},\bar{D})$ 均为 $G(s)$ 的最小实现。则能控性矩阵和能观性矩阵存在关系：
$$Q_o{Q}_c={\bar{Q}}_o{\bar{Q}}_c$$
$$Q_{o}A{Q}_c={\bar{Q}}_o\bar{A}{\bar{Q}}_c$$
存在非奇异矩阵
$$P=Q_c{\bar{Q}}_c^{-1}=Q_o^{-1}{\bar{Q}}_o$$
$$P^{-1}={\bar{Q}}_c{Q}_c^{-1}={\bar{Q}}_o^{-1}{Q}_o$$
使得以下相似变换成立。
$$\bar{A}={\bar{Q}}_o^{-1}{Q}_{o}A{Q}_c{\bar{Q}}_c^{-1}=P^{-1}AP$$
$G(s)$ 的最小实现均等价，或者说系统矩阵相似。
给定状态空间方程，求出传递函数再求出次数，就可以确定是否为最小实现。
给定传递函数，先化为互质分式，通过互质分式直接写出能控能观标准型，则自动得到最小实现。

如果方程为最小实现，则 $A$ 的特征值与 $G(s)$ 的极点相同，即最小实现的，则
$$渐进稳定性\iff BIBO稳定性$$
BIBO稳定 $G(s)$ 的所有极点都有负实部。对应零状态响应，有界的输入引起有界的输出。称为输入-输出稳定性，或称外部稳定性。
渐进稳定 $A$ 的所有特征值都有负实部。对应零输入响应，任何初始状态最终的响应为 $0$ 。称为内部稳定性。

2.6 完全表征

传递函数是外部描述，状态方程是内部描述。
传递函数只能描述零状态响应，状态方程可以描述零状态和零输入响应。
状态方程比传递函数描述得更为全面。
如果系统中储能元件的个数等于传递函数 $G(s)$ 的次数，则定义该系统可以由其传递函数完全表征。
即系统不存在冗余的储能元件，为最小实现，此时使用状态方程或传递函数描述并无差别。

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3. 计算互质分式

说白了就是想办法约掉分子分母相同的因式。

3.1 使用西尔韦斯特结式

参考[[结式 resultant]]

[!example]-
Use the Sylvester resultant to reduce $(2s-1)/(4s^2-1)$ to a coprime fraction.
解：列出西尔韦斯特结式
$$S=\left[\begin{array}{cccc}-1& -1& 0& 0\\ 0& 2& -1& -1\\ 4& 0& 0& 2\\ 0& 0& 4& 0\end{array}\right]$$
$$\text{rank}(S)=3$$
求解 $Sr=0$ ，解得
$$r=[-\frac{1}{2}\frac{1}{2}01{]}^{\mathrm{T}}$$
所以
$$\overline{N}=\frac{1}{2},\overline{D}=\frac{1}{2}+s$$
$$\frac{2s-1}{4s^2-1}=\frac{1/2}{s+1/2}=\frac{1}{2s+1}$$

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4. SISO基于Markov参数的实现

先做个长除法，将传递函数转成 $s$ 在分母的无穷级数。
$$G(s)=h(0)+h(1)s^{-1}+h(2)s^{-2}+\cdots$$
$$T(i,i)=\left[\begin{array}{cccc}h(1)& h(2)& h(3)& \cdots \\ h(2)& h(3)& \cdots & \\ h(3)& & & \\ ⋮& & & h(2i-1)\end{array}\right]$$
找到
$$\text{rank}(T(i,i))=\text{rank}(T(i+1,i+1))=i=\mathrm{deg}G(s)$$
$$\bar{T}(i,i)=\left[\begin{array}{cccc}h(2)& h(3)& h(4)& \cdots \\ h(3)& h(4)& \cdots & \\ h(4)& & & \\ ⋮& & & h(2i)\end{array}\right]$$
$$A=\bar{T}(i,i)T(i,i{)}^{-1},B=[h(1),\cdots ,h(i){]}^{\mathrm{T}},C=[1,0,\cdots ,0]$$

[!example]-
$$G(s)=\frac{1}{(s+1{)}^2}$$
解：原式展开称无穷幂级数
$$g(s)=0s^{-1}+s^{-2}+(-2)s^{-3}+3s^{-4}+(-4)s^{-5}+\cdots$$
$$\text{rank}(T(2,2))=\text{rank}(\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right])=2$$
$$\mathrm{deg}g(s)=2$$
$$\begin{array}{rl}\therefore A=& \tilde{T}(2,2)T^{-1}(2,2)=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ & \\ =& \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\end{array}$$
$$b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c=[10]$$
三元组 $(A,b,c)$ 为 $g(s)$ 的irreducible companion-form最小实现。

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5. 传递函数矩阵的特征多项式

传递函数矩阵的特征多项式为该矩阵所有子行列式的最小公分母。

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下链

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