分支限界

整体结构

本质上感觉还是遍历解树+剪枝，但是配合优先队列使用以后可以更好的找到最优解。

例题

P8011 ⾛迷宫

对于迷宫问题，某一节点的关联节点指的是它四个方向上相邻的节点。

要利用flag数组确保不会重复访问。

 void bfs(){//1、初始化队列queue ,将第一个节点放入队列 t++; q[t].x = 1;q[t].y = 1;q[t].step = 0;flag[1][1] = true;//2.循环遍历队列while(h <= t){ //队列不空 // 3.取出队头,存入curNode cur = q[h]; h++;// 4. 利用产生式规则，拓展cur的关联节点入队for(int i = 0; i < 4; i++) { //四个方向拓展int nx = cur.x + z[0][i];int ny = cur.y + z[1][i];if(nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m) continue;//越界 if(a[nx][ny] == 1) continue; //有墙 if(flag[nx][ny]) continue; //走过 // 如果找到答案，结束搜索if(nx == n && ny == m){ans = cur.step + 1;//拓展出的节点到了终点，所以要把最后一步加上return ;}//既没跳过也没到终点，那就先存起来flag[nx][ny] = true;//拓展的过程中就已经用过t++;//存起来只是为了继续拓展q[t].x = nx;q[t].y = ny;q[t].step = cur.step + 1;}} } 

P8012 01背包

核心在于选和不选两个分支的剪枝，总体框架依然是取队头-判断剪枝-拓展-判断剪枝-入队。

 void bfs(){//1、初始化队列queue ,将第0个物品放入队列 t++;q[t].i = 0; //第0个物品 q[t].cp = 0;q[t].cv = 0;bestp = 0; //2.循环遍历队列while(h <= t){ //队列不空 // 3.取出队头,存入curNode cur = q[h];h++;int n_i = cur.i+1;if(n_i > n) continue;//物品用完了// 4. 利用产生式规则，拓展cur的关联节点入队// 选择下一个物品，并入队 if(cur.cv + items[n_i].volume <= V){ //装不下则剪掉选择该物品的分支t++;q[t].i = n_i;q[t].cp = cur.cp + items[n_i].price;q[t].cv = cur.cv + items[n_i].volume;bestp = max(bestp,q[t].cp);} // 计算上界double b = bound(n_i + 1, cur.cv, cur.cp);// 不选择下一个物品，且上界大于当前最佳解时，才将节点入队if (b > bestp) {t++;q[t].i = n_i;q[t].cp = cur.cp;q[t].cv = cur.cv;   }} } 

把手动固定队列换成优先队列的版本。由于优先队列会把价值密度更高的物品推到前面，所以程序会优先沿着局部最优的路径往下走，更便于找到最优路径。

 // 更快找到最优解：先探索最有希望的节点（即优先级最高的节点）// 更有效的剪枝：优先处理那些最有可能导致最优解的节点。double bound(int i, int cv, int cp) { double maxp = cp;int totv = cv;// 使用贪心策略继续添加物品while (i <= n && totv + items[i].volume <= V) {totv += items[i].volume;maxp += items[i].price;i++;}// 如果还有剩余空间，则按比例取最后一个物品的价值if (i <= n) {maxp += (V - totv) * (items[i].density);}return maxp;  }void bfs(){//1、初始化队列queue ,将第0个物品放入队列 Node cur;priority_queue<Node> p_q;cur.i = 0; //第0个物品 cur.cp = 0;cur.cv = 0;cur.ub  = bound(cur.i+1, cur.cv, cur.cp);//计算上界值 p_q.push(cur); //插入优先队列 //2.循环遍历队列while(!p_q.empty()){ //队列不空 // 3.取出队头,存入curcur = p_q.top();p_q.pop();int n_i = cur.i+1;if(n_i > n) continue;// 4. 利用产生式规则，拓展cur的关联节点入队// 选择下一个物品，并入队 if(cur.cv + items[n_i].volume <= V){ // 左剪枝 Node t;t.i = n_i;t.cp = cur.cp + items[n_i].price;t.cv = cur.cv + items[n_i].volume;t.ub  = bound(cur.i+1, cur.cv, cur.cp);//计算上界值 bestp = max(bestp,t.cp);p_q.push(t); //插入优先队列 } // 不选择下一个物品，并入队 // 计算上界Node t2;t2.i = n_i;t2.cp = cur.cp;t2.cv = cur.cv;t2.ub  = bound(cur.i+1, cur.cv, cur.cp);//计算上界值 if (t2.ub > bestp) {p_q.push(t2); //插入优先队列 }} } 

P8013 任务分配

总体框架不变，确定下界的自定义函数变了，多了一个枚举任务的逻辑，多了一个任务分配状态的记录，其他就比较常规啦。

 void bound(Node &e){//当前还有可能得到的最小代价int minsum = 0;for(int i = e.i + 1; i <= n; i++){ // 枚举人 int min_v = 2e9;// 贪心 for(int j = 1; j <= n; j++){ // 枚举任务 if(e.used[j] == 0 && a[i][j] <= min_v)min_v = a[i][j];}minsum += min_v;} e.lb = e.cost + minsum;} ​void bfs(){// 定义一个优先队列 priority_queue<Node> p_q;Node cur,next;cur.i = 0; //根节点cur.cost =0;cur.used.resize(n+10);cur.ve.resize(n+10);bound(cur);p_q.push(cur); //根节点入队 while(!p_q.empty()){ // 队列不为空 cur = p_q.top();p_q.pop();for(int j = 1; j <= n; j++){ //枚举任务 if(cur.used[j] == 1) continue; //任务被分配过 next.i = cur.i + 1;next.used = cur.used;next.ve = cur.ve;next.used[j] = 1;next.ve[next.i] = j; //第i个人，被分配了第j个任务 next.cost = cur.cost + a[next.i][j];bound(next);//计算下界 if(next.lb < ans){//剪枝 if(next.i == n){//更新最优解 if(next.cost < ans){ans = next.cost; }   }else{//入队 p_q.push(next); }}}}   }