C++算法学习心得六.回溯算法（1）

1.回溯算法理论基础

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。回溯的本质是穷举,穷举所有可能，然后选出我们想要的答案

回溯法解决的问题

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序,组合无序排列有序

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯三部曲：回溯函数模板返回值以及参数，回溯算法中函数返回值一般为void，需要什么参数，就填什么参数。回溯函数终止条件树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。回溯搜索的遍历过程，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

2.组合（77题）

题目描述：

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

回溯法：每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

class Solution {
private:vector<vector<int>> result;//结果集vector<int> path;//符合条件结果//递归回溯函数，使用startindexvoid backtracking(int n,int k,int startindex){//终止条件，数组数组大小到递归if(path.size() == k){result.push_back(path);//将路径加入结果集中return;}//控制数的横向遍历for(int i = startindex;i <= n;i++){path.push_back(i);//处理节点backtracking(n,k,i+1);//递归，纵向遍历，下一层从i+1搜索path.pop_back();//回溯，撤销处理的节点}}
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {result.clear();path.clear();backtracking(n,k,1);//return result;}
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题，把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程，用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

3.组合优化（77题）

题目描述：和2一样

减枝优化：剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了

class Solution {
private:vector<vector<int>> result;//结果集vector<int> path;//符合条件结果//递归回溯函数，使用startindexvoid backtracking(int n,int k,int startindex){//终止条件，数组数组大小到递归if(path.size() == k){result.push_back(path);//将路径加入结果集中return;}//控制数的横向遍历，注意i的范围i进行了减枝操作for(int i = startindex;i <= n - (k-path.size())+1;i++){path.push_back(i);//处理节点backtracking(n,k,i+1);//递归，纵向遍历，下一层从i+1搜索path.pop_back();//回溯，撤销处理的节点}}
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {result.clear();path.clear();backtracking(n,k,1);return result;}
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

减枝操作不好理解所以还是可以根据树来进行模拟更方便。

4.组合总和III（216题）

题目描述：

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

回溯法：我们确定函数的参数：

targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
k（int）就是题目中要求k个数的集合。
sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。

处理过程和回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！

class Solution {
private:vector<int>path;//路径vector<vector<int>>result;//结果集void backtracking(int targetsum,int k,int sum,int startindex){//终止条件if(path.size() == k){if(sum == targetsum)result.push_back(path);//如果和和目标和相等加入数组return;}//遍历1-9数字，使用startindex来控制每次加入的数字for(int i = startindex;i <= 9;i++){path.push_back(i);//路径加入sum += i;//计算加进来的和backtracking(targetsum,k,sum,i+1);//进行递归sum -= i;//回溯path.pop_back();//回溯}}
public:vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {path.clear();result.clear();backtracking(n,k,0,1);//注意参数的传入return result;}
};

减枝操作：

class Solution {
private:vector<int>path;//路径vector<vector<int>>result;//结果集void backtracking(int targetsum,int k,int sum,int startindex){//终止条件if(sum > targetsum){return ;//当前和大于了目标和就直接返回，减枝操作}if(path.size() == k){if(sum == targetsum)result.push_back(path);//如果和和目标和相等加入数组return;}//遍历1-9数字，使用startindex来控制每次加入的数字,这里和组合那个减枝操作类似，代表着所需元素要求来限制for(int i = startindex;i <= 9 - (k-path.size())+1;i++){path.push_back(i);//路径加入sum += i;//计算加进来的和backtracking(targetsum,k,sum,i+1);//进行递归sum -= i;//回溯path.pop_back();//回溯}}
public:vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {path.clear();result.clear();backtracking(n,k,0,1);//注意参数的传入return result;}
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

先写树的回溯然后再考虑减枝问题

5.电话号码的字母组合（17题）

题目描述：

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

输入："23"
输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].

说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

使用二维数组来进行映射，回溯可以解决n个for循环问题，注意我们这里不用startindex是因为我们需要从两个不同的字符串来选择字符，之前组合那个是因为在同一个集合，这个因为在不同集合

class Solution {
private: const string letterMap[10] = {"", // 0"", // 1"abc", // 2"def", // 3"ghi", // 4"jkl", // 5"mno", // 6"pqrs", // 7"tuv", // 8"wxyz", // 9}; 
public:vector<string>result;//结果string s;//字符串//函数和参数定义void backtracking(const string& digits,int index){if(index == digits.size()){result.push_back(s);//满足条件加入字符串中return ;}int digit = digits[index] - '0';//将index指向的数字转为intstring letter = letterMap[digit];//取数字对应的字符集//注意这里取index不是startindex是因为不同集合，且下标可以从0开始for(int i = 0;i < letter.size();i++){s.push_back(letter[i]);//加入s中backtracking(digits,index+1);//递归s.pop_back();//回溯}}vector<string> letterCombinations(string digits) {s.clear();result.clear();if(digits.size() == 0){return result;}backtracking(digits,0);return result;}
};

时间复杂度: O(3^m * 4^n)，其中 m 是对应四个字母的数字个数，n 是对应三个字母的数字个数
空间复杂度: O(3^m * 4^n)