0x32 约数

定义

若整数$n$除以整数$d$的余数为0，即$d$能整除$n$，则称$d$是$n$的约数，$n$是$d$的倍数，记为$d|n$。

算术基本定理的推论

在算术基本定理中，若正整数$N$被唯一分解为$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_m^{c_m}$，其中$c_i$都是正整数，$p_i$都是质数，且满足$p_1<p_2<...<p_m$，则$N$的正约数集合可写作：
{ p 1 b 1 p 2 b 2 . . . p m b m } , 其中 0 ≤ b i ≤ c i \{p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_m} \},其中0\leq b_i \leq c_i {p1b1​​p2b2​​...pmbm​​},其中0≤bi​≤ci​
$N$的正约数个数为：
$$(c_1+1)\ast (c_2+1)\ast ...\ast (c_m+1)=\prod _{i=1}^m(c_i+1)$$
$N$的所有正约数的和为：
$$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1})\ast ...\ast (1+p_m+p_m^2+...+p_m^{c_m})=\prod _{i=1}^m(\sum _{j=0}^{c_i}{(p_i)}^j)$$
求$N$的正约数集合——试除法

若$d\ge \sqrt{N}$是$N$的约数，则$N/d\le \sqrt{N}$也是$N$的约数。换言之，约数总是成对出现的（除了对于完全平方数，$\sqrt{N}$会单独出现）。

因此，只需扫描$d=1\sim \sqrt{N}$，尝试$d$能否整除$N$，若能整除，则$N/d$也是$N$的约数。时间复杂度为$O(\sqrt{N})$。

int factor[1600],m=0;
for(int i=1;i*i<=n;++i)
{if(n%i==0){factor[++m]=i;if(i!=n/i) factor[++m]=n/i;}
}

试除法的推论：一个整数$N$的约数个数上界为$2\sqrt{N}$。

求$1\sim N$每个数的正约数集合——倍数法

若用“试除法”分别求出$1\sim N$每个数的正约数集合，时间复杂度过高，为$O(N\sqrt{N})$。可以反过来考虑，对于每个数$d$，$1\sim N$中以$d$为约数的数就是$d$的倍数$d,2d,3d,...,\lfloor N/d\rfloor \ast d$。一下程序采用“倍数法”求出$1\sim N$每个数的正约数集合：

vector<int> factor[500010];
for(int i=1;i<=n/i;++i)for(int j=1;j<=n/i;++j)factor[i*j].push_back(i);

上述时间复杂度为$O(N+N/2+N/3+N/N)=O(NlogN)$。

倍数法的推论：$1\sim N$每个数的约数个数的总和大约为$NlogN$。

1.最大公约数

定义

若自然数$d$同时是自然数$a$和$b$的约数，则称$d$是$a$和$b$的公约数。在所有$a$和$b$的公约数中最大的一个称为$a$和$b$的最大公约数，记为$gcd(a,b)$。

若自然数$m$同时是自然数$a$和$b$的倍数，则称$m$是$a$和$b$的公倍数。在所有$a$和$b$的公倍数中最小的一个称为$a$和$b$的最小公倍数，记为$lcm(a,b)$。

同理，我们也可以定义三个数以及更多个数的最大公约数、最小公倍数。

定理
$$\forall a,b\in N,gcd(a,b)\ast lcm(a,b)=a\ast b$$
九章算数▪更相减损术
$$\forall a,b\in N,a\ge b,有gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)$$

$$\forall a,b\in N,有gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)$$

欧几里得算法
$$\forall a,b\in N,b\ne 0,gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

int gcd(int a,int b)
{return b?gcd(b,a%b):a;
}

使用欧几里得算法求最大公约数的复杂度为$O(log(a+b))$。欧几里得算法是常用的求最大公约数的方法。不过高精度除法（取模）不容易实现，需要做高精度运算时，可考虑更相减损术代替欧几里得算法。

2.互质与欧拉函数

定义

$\forall a,b\in N$，若$gcd(a,b)=1$，则称$a,b$互质。

对于三个数或者更多个数的情况，我们把$gcd(a,b,c)=1$的情况称为$a,b,c$互质。把$gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(c,a)=1$称为$a,b,c$两两互质。后者显然是一个更强的条件。

欧拉函数

$1\sim N$中与$N$互质的数的个数被称为欧拉函数，即为$\varphi (N)$。

若在算术基本定理中，$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_m^{c_m}$，则：
$$\varphi (N)=N\ast \frac{p_1-1}{p_1}\ast \frac{p_2-1}{p_2}\ast ...\ast \frac{p_m-1}{p_m}=N\ast \prod _{质数p|N}(1-\frac{1}{p})$$
证明：

设$p$是$N$的质因子，$1\sim N$中$p$的倍数有$p,2p,3p,...,(N/p)\ast p$，共$N/p$个。同理，若$q$也是$N$的质因子，则$1\sim N$中$q$的倍数有$N/q$个。如果我们把这$N/p+N/q$个数去掉，那么$p\ast q$的倍数被排除了两次，需要加回来一次。因此，$1\sim N$不含有共同质因子$p$或$q$的个数为：
$$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N\ast (1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq})=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})$$
实际上，上述思想被称为容斥思想，我们将在0x37节详细介绍。类似地，可以在$N$地全部质因子上使用容斥思想，即可以得到$1\sim N$中不与$N$含有任何共同质因子的数的个数，也就是与$N$互质的数的个数。

根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数，既可以顺便求出欧拉函数。

int phi(int n)
{int ans=n;for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0) n/=i;}}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans;
}

性质$1\sim 2$

1.$\forall n>1,1\sim n$中与$n$互质的数的和为$n\ast \varphi (n)/2$。

2.若$a,b$互质，则$\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$。

证明：

因为$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$，所以与$n$不互质的数$x,n-x$成对出现，平均值为$n/2$。因此，与$n$互质的数的平均值也是$n/2$，进而得到性质1。

根据欧拉函数的计算式，对$a,b$分解质因数，直接可得性质2。把性质2推广到一般的函数上，可以得到“积极函数”的概念。

积极函数

如果当$a,b$互质时，有$f(ab)=f(a)\ast f(b)$，那么称函数$f$为积极函数。

性质$3\sim 6$

3.若$f$是积极函数，且在算术基本定理中$n={\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}$，则$f(n)={\prod }_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})$。

4.设$p$为质数，若$p\mid n$且$p^2\mid n$，则$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast p$。

5.设$p$为质数，若$p\mid n$且$p^2\nmid n$，则$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast (p-1)$。

6.${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$

证明:

把$n$分解质因数，按照积极函数的定义，性质3显然成立。

若$p\mid n$且$p^2\mid n$，则$n,n/p$包含相同的的质因子，只是$p$的质数不同。直接把$\varphi (n)$与$\varphi (p/n)$按照欧拉函数的就算公式写出，二者相除，商为$p$，所以性质4成立。

若$p\mid n$且$p^2\nmid n$，则$p,n/p$互质，由$\varphi$是积极函数得$\varphi (n)=\varphi (n/p)\ast \varphi (p)$，而$\varphi (p)=p-1$，所以性质5成立。

设$f(n)={\sum }_{d\mid n}\varphi (d)$。用乘法分配律展开比较，再利用$\varphi$是积极函数，得到：若$n,m$互质，则$f(nm)={\sum }_{d\mid nm}\varphi (d)=({\sum }_{d\mid n}\varphi (d))\ast ({\sum }_{d\mid m}\varphi (d))=f(n)\ast f(m)$。即${\sum }_{d\mid n}\varphi (d)$是积极函数。对于单个质因子，$f(p^m)={\sum }_{d\mid p^m}\varphi (d)=\varphi (1)+\varphi (p)+\varphi (p^2)+...+\varphi (p^m)$是一个等比数列求和再加1，结果为$p^m$。所以$f(n)={\prod }_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})={\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}=n$，性质6成立。

有关积极函数还有许多内容，并可延伸出狄利克雷卷积、莫比乌斯反演以及一系列相关的快速求和问题。