写在最前面

主要在 哈工大密码学课程 张宇老师课件 的基础上学习记录笔记。

内容补充：骆婷老师的PPT
《introduction to modern cryphtography》–Jonathan Katz, Yehuda Lindell（现代密码学——原理与协议）中相关章节
密码学复习笔记 这个博主好有意思

初步笔记，如有错误请指正

快速补充一些密码相关的背景知识

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私钥加密与伪随机性 第二部分

1. 本节课学习另外两种私钥加密安全理论：选择明文攻击（CPA）下不可区分性、选择密文攻击（CCA）下不可区分性以及相关的密码学原语、假设、构造和证明。这些攻击更好的刻画了现实世界中敌手的能力，相应的密码学方案也是目前真正在实际使用的。

2. 目录：流加密与CPA，CPA安全加密方案，操作模式，CCA安全加密方案

流加密与CPA

3. 流加密方案（Stream Cipher）

   • 首先介绍当有多个消息需要被传递时，如何利用之前学习的基于PRG的加密方案来保护消息。
   • 思路：受一次一密方案的启发，通过将变长消息与密钥的异或来加密
   • 流加密方案：通过将多个消息“拼成”一个消息，与伪随机的比特流（密钥流）异或来加密
   • 密钥流：由一个变长的伪随机生成器产生
   • 优点：逻辑简单，比分组密码更快
   • 缺点：难以做到安全

4. 采用流加密方案的安全多重加密

   • 同步模式：用一个流中不同部分分别加密各个消息；
   • 异步模式：以密钥和初始向量一起作为输入来产生流，每个明文的加密采用相同的密钥和不同的初始向量
     • 初始向量（Initial Vector），$IV$是随机选取的并且是公开的；其生成是随机的并不受控制，但生成后并不保密；密钥的生成是随机的并不受控制，但生成后也要保密。
   • 两种模式差异：
     • 同步模式适合持续通信场景，例如语音；异步模式适合间断通信场景，例如即时消息。

5. 流密码的安全性

   1. 现状：没有标准化和流行的方案，安全性仍有疑问，例如在802.11中WEP协议的RC4，线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Registers）；
   2. 警告：不要使用任何流加密方案，如果一定需要的话，采用由分组加密方案构造的。
   3. eStream项目致力于设计安全的流密码

6. 相关密钥：真实世界例子

   • 用于多重加密的密钥（初始向量和密钥对）必须是独立的。否则，前面的攻击就会生效；
   • 对于802.11b WEP的若干攻击：
     • WEP为异步模式，$\mathsf{Enc}(m_i):=⟨I{V}_i,G(I{V}_i\Vert k)\oplus m_i⟩$
     • $IV$长度为24比特，在$2^{24}\approx$ 16M 帧后$IV$会产生重复；
     • 在一些WiFi网卡上，在电源重启后$IV$重置为0；
     • $I{V}_i=I{V}_{i-1}+1$. 对于RC4，在40,000帧后可以恢复 $k$ ；

多重加密

7. 多重加密（Multiple Encryptions）

   • 在一次一密中，一个密钥不可以用于对多个消息的加密；否则，就是不安全的。如果敌手能够获得用同一个密钥加密后的多个密文，则之前的方案都是不安全的；为此，我们需要新的加密方案来防御这样的攻击。
   • 多个明文的加密实验${\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{mult}}(n)$，当一次加密多个明文时，窃听者敌手能够区分出两组明文吗？
   • 一个敌手$\mathcal{A}$与一个挑战者$\mathcal{C}$进行3轮交互：
     1. $\mathcal{A}$选择两个长度相同、内容不同明文向量${\vec{M}}_0=(m_0^1,\dots ,m_0^t)$, ${\vec{M}}_1=(m_1^1,\dots ,m_1^t)$，其中两个向量中同一位置的明文长度相同$\forall i,|m_0^i|=|m_1^i|$，发送给$\mathcal{C}$；
     2. $\mathcal{C}$根据密钥生成算法生成一个新密钥$k\leftarrow \mathsf{Gen}(1^n)$，一个随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b←{0,1}。对向量${\vec{M}}_b$中每个明文加密 $c^i\leftarrow {\mathsf{Enc}}_k(m_b^i)$ 得到一个密文向量 $\vec{C}=(c^1,\dots ,c^t)$ ，并发送给$\mathcal{A}$；
     3. $\mathcal{A}$输出对所加密明文向量的猜测$b^{\prime }$，若$b=b^{\prime }$，则$\mathcal{A}$成功；否则，失败；
   • 这与之前的单个消息不可区分实验类似的，区别在于用同一个密钥加密的多个消息。敌手可以获得多个明文的密文，比单个明文不可区分实验中的敌手有更强的能力。

8. 多重加密安全定义

   • $\Pi$ 是窃听者出现时不可区分的多重加密方案，如果任意PPT的敌手$\mathcal{A}$, 存在可忽略的函数$\mathsf{negl}$ 使得

     $\mathrm{Pr}\left[{\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{mult}}(n)=1\right]\le \frac{1}{2}+\mathsf{negl}(n).$

   • 根据这个定义，来分析迄今学习的密码学方案是否是多重加密不可区分的？

9. 攻击确定性加密方案

   • 问题：如果一个加密方案中加密算法是确定性的，即同一个明文会被同一个密钥加密成同一个密文，那么该加密方案是多重加密安全的吗？
   • 攻击：对于确定性加密方案，敌手可以构造$m_0^1=m_0^2$ 并且 $m_1^1\ne m_1^2$，然后当$c^1=c^2$，输出 $b^{\prime }=0$，否则 $b^{\prime }=1$。
   • 因此，确定性加密方案不是多重加密安全的，我们需要新的密码学原语来防御多重加密攻击。接下来，我们介绍一种更强的攻击，其涵盖了多重加密攻击。只要防御了这个新定义的攻击，也就同时防御了多重加密攻击。

CPA安全加密方案

10. 选择明文攻击（Chosen-Plaintext Attacks (CPA)）（思考）

    • 敌手具有获得其所选择明文对应的密文的能力。

    • 第二次世界大战中的例子：美国海军密码分析学家相信密文“AF”表示日语中的“中途岛”；但美国将军不认为中途岛会遭到攻击（？这里没看懂）；美国海军密码分析学家发送了一个明文，中途岛淡水供给不足；日本军队截获的明文，并发送了一段密文，“AF”淡水不足；美国军队派出三艘航空母舰并且取胜。

    • 这里例子里，美国海军密码分析学家选择了明文并得到了密文。

CPA安全实验、预言机访问（oracle access）

11. CPA安全实验

    • CPA不可区分实验 ${\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cpa}}(n)$:
      1. 挑战者生成密钥 $k\leftarrow \mathsf{Gen}(1^n)$；（这里与窃听者不可区分实验相比，密钥的生成提前了，这是为了下一步提供加密预言机）
      2. $\mathcal{A}$ 被给予输入 $1^n$ 和对加密函数 ${\mathsf{Enc}}_k(\cdot )$的预言机访问（oracle access） ${\mathcal{A}}^{{\mathsf{Enc}}_k(\cdot )}$ ，输出相同长度 $m_0,m_1$ ；
      3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b←{0,1}，将挑战密文 $c\leftarrow {\mathsf{Enc}}_k(m_b)$ 发送给 $\mathcal{A}$；
      4. $\mathcal{A}$ 继续对 ${\mathsf{Enc}}_k(\cdot )$的预言机的访问，输出$b^{\prime }$；如果$b^{\prime }=b$，则$\mathcal{A}$成功${\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cpa}}=1$，否则 0。
    • 敌手对加密函数预言机访问是指，敌手以任意明文作为输入，可以从预言机得到对应密文。此处，密钥是已经提前生成的，因此才能通过加密函数预研机得到密文，但仍对敌手保密。预言机是一个形象的比喻，它是一个黑盒，只接收输入并返回输出；访问者不需要了解其内部构造。
    • 该实验与窃听者不可区分实验的区别在于，敌手可访问加密预言机，在实验过程中始终可以，包括在产生两个明文阶段，以及在收到挑战密文后猜测被加密明文阶段，获得任意明文被同一密钥加密的密文；而且密文是逐个获得，可以根据之前的明文和密文对来“适应性地”构造新的查询。
    • CPA敌手比多重加密的敌手更“强大”，因为多重加密敌手是可以一次性地获得一组密文，而CPA敌手可以根据已经获得的明文和密文“多次适应性地”再次获得密文。

12. CPA安全

    • $\Pi$ 是CPA不可区分加密方案 (CPA安全的)，如果任意概率多项式时间算法$\mathcal{A}$，存在可忽略的函数$\mathsf{negl}$使得，

      $\mathrm{Pr}\left[{\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cpa}}(n)=1\right]\le \frac{1}{2}+\mathsf{negl}(n)$

    • 定理：CPA安全也是多重加密安全的。证明略。直觉上，CPA敌手比多重加密敌手更强大。

    • 之前的方案也难以实现CPA安全；

    • 多重加密安全意味着CPA安全？（作业）显然是否定的。那么，思考两种安全定义的区别成为解题的关键。

操作模式

伪随机函数PRF

13. 伪随机函数（Pseudorandom Function）概念

    • 为了实现CPA安全，之前的PRG提供的随机性不够用了，需要新的数学工具为加密提供额外的随机性。为此引入伪随机函数（PRF），是对伪PRG的泛化：PRG从一个种子生成一个随机串，PRF从一个key生成一个函数；
    • 带密钥的函数Keyed function F : { 0 , 1 } ∗ × { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F : \{0,1\}^* \times \{0,1\}^* \to \{0,1\}^* F:{0,1}∗×{0,1}∗→{0,1}∗
      • F k : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F_k : \{0,1\}^* \to \{0,1\}^* Fk​:{0,1}∗→{0,1}∗, $F_k(x)\stackrel{\text{def}}{=}F(k,x)$
      • 两个输入到一个输出，看上去像，但不是加密函数；输入key，得到一个一输入到一输出的函数；
    • 查表Look-up table $f$: { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n {0,1}n→{0,1}n 需要多少比特信息存储？
      • 查表是一个直接描述输入与输出间映射的表格，一个条目对应一个输入与一个输出；当该映射是随机产生的，是一个真随机函数；
    • 函数族Function family ${\mathsf{Func}}_n$: 包含所有函数 { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n {0,1}n→{0,1}n. $|{\mathsf{Func}}_n|=2^{n\cdot 2^n}$
      • 一个PRF是函数族中一个子集，key确定下的PRF是函数族中一个元素，一个查表是函数族中一个元素；
    • 长度保留Length Preserving: ${\ell }_{key}(n)={\ell }_{in}(n)={\ell }_{out}(n)=n$；密钥长度与函数输入、输出长度相同为$n$；没有特殊说明时，只讨论长度保留的函数；

14. 伪随机函数定义

    • 直觉上，一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数（查表）之间是不可区分的；然而，一个真随机函数具有指数长度，无法“预先生成”，只能“on-the-fly”（边运行、边生成）的使用，引入一个对函数$\mathcal{O}$的确定性的预言机访问（oracle access）$D^{\mathcal{O}}$。
    • 这里的预言机是一个抽象的函数。访问预言机，就是给出任意输入，得到该函数的输出。访问预言机的能力不包括了解正在访问的预言机具体内部构造。
    • 一个带密钥的函数是一个伪随机函数（PRF），对任意PPT区分器$D$，$\left|\mathrm{Pr}[D^{F_k(\cdot )}(1^n)=1]-\mathrm{Pr}[D^{f(\cdot )}(1^n)=1]\right|\le \mathsf{negl}(n)$，其中$f$是${\mathsf{Func}}_n$中随机函数。
      • 这里区分器$D$是一个算法，可以访问预言机，但并不知道预言机背后是什么。
      • 这里不可区分性关键是，对真随机查表和伪随机函数，区分器输出相同结果概率的差异。区分器输出1或0本身没有，也无需，有特定语义。
    • PRF和PRG的关系在后面会学习，可以由PRG来构造PRF。

15. PRF例题

    • 问题一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗？
    • 对于一个PRF，在密钥保密和没有预言机访问时，给指定输入，能以不可忽略的概率猜测输出相关信息吗？
    • 如果是PRF，则给出该函数与查表的相似性；否则，给出一个区分器可以区分出该函数不是随机的。

16. 以PRF实现CPA安全

    • 新随机串 $r$，每次新生成一个随机串；
    • $F_k(r)$: $|k|=|m|=|r|=n$. 长度保留；
    • $\mathsf{Gen}$: k ∈ { 0 , 1 } n k \in \{0,1\}^n k∈{0,1}n.
    • $\mathsf{Enc}$: $s:=F_k(r)\oplus m$, $c:=⟨r,s⟩$. 密文包括两部分新随机串，以及异或输出；
    • $\mathsf{Dec}$: $m:=F_k(r)\oplus s$.
    • 定理：上述方案是CPA安全的。

17. 从PRF到CPA安全的证明

    • 思路：从PRF的区分器算法$\mathcal{D}$规约到加密方案敌手算法$\mathcal{A}$，区分器$\mathcal{D}$作为敌手$\mathcal{A}$的挑战者，敌手$\mathcal{A}$实验成功时区分器$\mathcal{D}$输出1。分两种情况，当输入真随机函数$f$时，相当于一次一密；当输入伪随机函数$F_k$时，为加密方案。
    • 规约：$\mathcal{D}$输入预言机，输出一个比特；$\mathcal{A}$的加密预言机访问通过$\mathcal{D}$的预言机$\mathcal{O}$来提供，$c:=⟨r,\mathcal{O}(r)\oplus m⟩$；$\mathcal{D}$输出1，当$\mathcal{A}$在实验中成功。
      • 这里有两个预言机：$\mathcal{D}$访问的预言机$\mathcal{O}$，$\mathcal{A}$访问的加密预言机${\mathsf{Enc}}_k$，后者不能直接访问前者的预言机。

18. 从PRF到CPA安全的证明（续）

    • 考虑真随机函数$f$的情况，分析不可区分实验成功概率$\mathrm{Pr}[{\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi }}^{\mathsf{cpa}}(n)=1]=\mathrm{Pr}[\mathsf{Break}]$。敌手$\mathcal{A}$访问加密预言机可以获得多项式$q(n)$个明文与密文对的查询结果并得到随机串和pad { < r i , f ( r i ) > } \{ \left< r_i, f(r_i) \right> \} {⟨ri​,f(ri​)⟩}；当收到挑战密文$c=⟨r_c,s:=f(r_c)\oplus m_b⟩$时，根据之前查询结果中随机串是否与挑战密文中随机串相同，分为两种情况：

      • 当有相同随机串时，根据$r$可以得到$f(r_c)$，$m_b=f(r_c)\oplus s$，但这种情况发生的概率$q(n)/2^n$是可忽略的；
      • 当没有相同随机串时，输出是随机串，相当于一次一密，成功概率=1/2；

    • $\mathrm{Pr}[D^{F_k(\cdot )}(1^n)=1]=\mathrm{Pr}[{\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cpa}}(n)=1]=\frac{1}{2}+\epsilon (n).$

    • $\mathrm{Pr}[D^{f(\cdot )}(1^n)=1]=\mathrm{Pr}[{\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi }}^{\mathsf{cpa}}(n)=1]=\mathrm{Pr}[\mathsf{Break}]\le \frac{1}{2}+\frac{q(n)}{2^n}.$

    • $\mathrm{Pr}[D^{F_k(\cdot )}(1^n)=1]-\mathrm{Pr}[D^{f(\cdot )}(1^n)=1]\ge \epsilon (n)-\frac{q(n)}{2^n}.$ 根据伪随机函数定义，$\epsilon (n)$ 是可忽略的.

    • 小结：通过规约将$\mathcal{A}$的不可区分实验成功的概率与$D$的区分器实验输出1的概率建立等式；分析输入真随机函数预言机时$D$输出1的概率（即不可区分实验成功概率）是1/2+一个可忽略函数；根据PRF的定义，输入伪随机函数预言机时$D$输出1的概率（1/2+$\epsilon (n)$）与输入真随机函数预言机时$D$输出1的概率（1/2）的差异时可忽略的。

19. CPA安全例题

    • ${\mathsf{Enc}}_k(m)=PRG(k\Vert r)\oplus m$, $r$ 是新的随机串。这是CPA安全的吗？
    • 从PRF到CPA安全：变长消息
    • 对于任意长度消息 $m=m_1,\dots ,m_{\ell }$，$c:=⟨r_1,F_k(r_1)\oplus m_1,r_2,F_k(r_2)\oplus m_2,\dots ,r_{\ell },F_k(r_{\ell })\oplus m_{\ell }⟩$
    • 推论：如果$F$是一个 PRF，那么 $\Pi$ 对任意长度消息是 CPA 安全的。
    • 问题：这个方案有什么缺点？
    • 有效性: $|c|=2|m|$. 密文长度是明文长度的二倍，并且需要大量的真随机串。

伪随机排列PRP

20. 伪随机排列（Pseudorandom Permutations）

    • 为了提高对任意长度消息加密的效率，以及更高级的加密基础工具，学习伪随机排列PRP的概念；

    • 双射 Bijection: $F$ 是一到一的（一个输入对应一个唯一输出）且满射（覆盖输出集中每个元素）；

    • 排列 Permutation: 一个从一个集合到自身的双射函数；

    • 带密钥的排列 Keyed permutation: $\forall k,F_k(\cdot )$是排列；类似带密钥的函数；

    • $F$ 是一个双射 $⟺F^{-1}$ 是一个双射；函数和逆函数都是双射；

    • 定义：一个有效的带密钥的排列 $F$ 是PRP，如果对于任意PPT的区分器$D$，

      $\left|\mathrm{Pr}[D^{F_k(\cdot ),F_k^{-1}(\cdot )}(1^n)=1]-\mathrm{Pr}[D^{f(\cdot ),f^{-1}(\cdot )}(1^n)=1]\right|\le \mathsf{negl}(n)$

    • 问题：一个PRP也是一个PRF吗？

21. PRP例题

    • 对1比特的PRP、PRF的分析；
    • 交换引理：如果 $F$ 是一个 PRP 并且 ${\ell }_{in}(n)\ge n$，那么 $F$ 也是一个 PRF。
      • 一个随机排列和一个查表是不可取分的，PRP和随机排列不可取分，因此，PRP和查表是不可取分的。

22. 操作模式概念（Modes of Operation）

    • 操作模式是使用PRP或PRF来加密任意长度消息的方法；
    • 操作模式是从PRP或PRF来构造一个PRG的方法；
    • 将一个消息分成若干等长的块（分组，block），每个块以相似方式处理；

23. Electronic Code Book (ECB) 模式

    • 在窃听者出现时，是否是不可区分的？
    • $F$ 可以是任意PRF吗？

24. 对ECB的攻击

    • 为什么仍然可以识别企鹅？

25. Cipher Block Chaining (CBC) 模式

    • $IV$初始向量，一个新的随机串；
    • 是CPA的吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

26. Output Feedback (OFB) Mode模式

    • 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

27. Counter (CTR) Mode模式

    • $ctr$是一个初始向量，并且逐一增加；
    • 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

28. CTR模式是CPA安全
    

    • 定理：如果$F$是一个PRF，那么随机CTR模式是CPA安全的。

    • 证明：其安全性与之前基于PRF的CPA安全证明类似，从PRF的伪随机假设规约到CPA安全加密方案。其中，对$ctr$的安全性直觉在于，$ctr$也是在加密前不可预测的，且每个块所用$ctr$都是不同的；

    • 当加密预言机是由真随机查表构成时，敌手多次访问加密预言机得到的$ctr$序列与挑战密文的$ctr$序列之间有重叠的概率$\frac{2q(n{)}^2}{2^n}$是可以忽略的；若没有重叠，则相当于一次一密；

    • 规约与之前证明基于PRF的CPA安全加密方案一样，证明过程也类似。

29. 初始向量不应该可预测

    • 如果$IV$是可预测的，那么CBC/OFB/CTR模式不是CPA安全的。
    • 为什么？（作业）
    • 在SSL/TLS 1.0中的漏洞：记录$\#i$的$IV$是上一个记录$\#(i-1)$的密文块。
    • OpenSSL中API：需要用户输入$IV$，但$IV$应在函数内实现。当$IV$不充分随机时不安全。

30. 非确定性加密

    • 有三种通用的实现CPA安全的非确定性加密方法：
    • 随机化的：$r$随机生成，如构造5；需要更多熵，长密文
    • 有状态的：$r$为计数器，如CTR模式；需要通信双方同步计数器
    • 基于Nonce的：$r$只用一次；需要保证只用一次，长密文

CCA安全加密方案

32. 选择密文攻击 Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)

    • CCA不可区分实验 ${\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cca}}(n)$:

      1. 挑战者生成密钥 $k\leftarrow \mathsf{Gen}(1^n)$；（为了下一步的预言机）
      2. $\mathcal{A}$ 被给予输入 $1^n$ 和对加密函数 ${\mathsf{Enc}}_k(\cdot )$和解密函数${\mathsf{Dec}}_k(\cdot )$的预言机访问（oracle access） ${\mathcal{A}}^{{\mathsf{Enc}}_k(\cdot )}$ 和 ${\mathcal{A}}^{{\mathsf{Dec}}_k(\cdot )}$，输出相同长度 $m_0,m_1$ ；
      3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b←{0,1}，将挑战密文 $c\leftarrow {\mathsf{Enc}}_k(m_b)$ 发送给 $\mathcal{A}$；
      4. $\mathcal{A}$ 继续对除了挑战密文$c$之外的预言机的访问，输出$b^{\prime }$；如果$b^{\prime }=b$，则$\mathcal{A}$成功${\mathsf{PrivK}}_{\mathcal{A},\Pi }^{\mathsf{cca}}=1$，否则 0。

      定义：一个加密方案是CCA安全的，如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。

33. 理解CCA安全

    • 在现实世界中，敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证，那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。下一页有具体真实案例。

    • CCA安全性意味着“non-malleability”（不可锻造性，即改变但不毁坏），不能修改密文来获得新的有效密文。

    • 之前的方案中没有CCA安全，因为都不是不可锻造。

    • 对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击：

      • $\mathcal{A}$ 获得挑战密文 $c=⟨r,F_k(r)\oplus m_b⟩$，并且查询与$c$只相差了一个翻转的比特的密文$c^{\prime }$，那么

        $m^{\prime }=c^{\prime }\oplus F_k(r)$ 应该与 $m_b$ 除了什么之外都相同？（见下方的补充）

    • 问题：上述操作模式也不是CCA安全的（作业）

    • 由此，可以总结出CCA下敌手的常用策略：

      • 修改挑战密文$c$为$c^{\prime }$，并查询解密预言机得到$m^{\prime }$
      • 根据关系，由$m^{\prime }$来猜测被加密明文$m_b$

补充

在这个情况下，$\mathcal{A}$ 获得了挑战密文 $c=⟨r,F_k(r)\oplus m_b⟩$ 并查询了一个只在一个比特上与 $c$ 不同的密文 $c^{\prime }$。我们来分析一下 $m^{\prime }=c^{\prime }\oplus F_k(r)$ 与 $m_b$ 的关系。

首先，我们明确 $c$ 的构成：

• $c$ 包含两个部分：一个随机数 $r$ 和使用密钥 $k$ 的函数 $F_k(r)$ 与明文 $m_b$ 的异或结果。
• 因此，$c=⟨r,F_k(r)\oplus m_b⟩$。

现在，如果 $\mathcal{A}$ 查询了一个与 $c$ 只在一个比特上不同的密文 $c^{\prime }$，那么 $c^{\prime }$ 也可以写成两部分，但其中一部分与 $c$ 有一个比特的差异。这个差异可以在 $r$ 部分，也可以在 $F_k(r)\oplus m_b$ 部分。

当 $\mathcal{A}$ 计算 $m^{\prime }=c^{\prime }\oplus F_k(r)$ 时，他们实际上是在解开 $F_k(r)\oplus m_b$ 的异或操作。这是因为异或操作是可逆的，且当两次使用相同的值时会取消彼此的效果（即 $A\oplus B\oplus B=A$）。

因此，如果 $c^{\prime }$ 的变化发生在 $F_k(r)$ 部分，则 $m^{\prime }$ 将与 $m_b$ 完全相同，因为 $F_k(r)$ 部分的变化被异或操作取消了。但如果变化发生在 $r$ 部分，则这个变化不会影响到 $F_k(r)\oplus m_b$ 部分，因此 $m^{\prime }$ 将与 $m_b$ 在一个比特上不同。

综上所述，$m^{\prime }$ 与 $m_b$ 将在以下方面相同：

• 如果变化发生在 $F_k(r)$ 部分，那么 $m^{\prime }$ 与 $m_b$ 完全相同。
• 如果变化发生在 $r$ 部分，那么 $m^{\prime }$ 与 $m_b$ 除了那个翻转的比特之外都相同。

填充预言机Padding-Oracle攻击真实案例

34. Padding-Oracle（填充预言机）攻击真实案例

    • CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此，一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥$k$，服务工作原理如下：
      1. 当Web服务器验证用户是否为人类时，生成一个消息$w$并以$k$加密，向用户发送一个密文$En{c}_k(w)$；
      2. 用户将密文$En{c}_k(w)$转发给CAPTCHA服务器；（可实施填充预言机攻击）
      3. CAPTCHA服务器用密钥$k$将密文解密，根据解密结果返回给用户信息：一个由$w$生成的图像，或者坏填充错误；
      4. 用户根据图像获得 $w$ 并将 $w$ 发送给Web服务器。
    • 在第2步，当恶意用户可以利用CAPTCHA服务器会返回给用户坏填充错误这一漏洞，来实施填充错误攻击。

35. Padding-Oracle（填充预言机）攻击

    • 在PKCS #5 padding（填充）标准中，为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍，在最后一个块中填充$b$个字节的$b$；必要时，添加一个哑块（dummy block，不包含消息的一个填充块）。存在一种攻击手段：当填充错误时，解密服务器返回一个“坏填充错误”，这相当于提供了一个解密预言机，最终可以获得整个明文；
    • 具体攻击原理：
      • 更改密文（包含$IV$部分）并发送给解密服务器；
      • 一旦触发了“坏填充错误”，则说明对密文的更改导致了填充部分内容的更改；否则，对密文的更改导致了原明文部分的更改；
      • 通过仔细修改密文来控制填充部分，从而获得消息长度和内容。

36. 填充预言机攻击：获得消息长度

    • 攻击的第一步判断消息是否为空：在单个块的CBC中，通过更改$IV$的首个字节，攻击者能够获知是否$m$是否为空。因为如果$m$是空的话，更改$IV$首个字节将更改解密出的填充内容，解密服务器就会返回坏填充错误（1比特信息），具体分析如下：
      • 如果$m$是空的，那么明文会添加一个哑块 { b } b \{b\}^b {b}b；
      • PRP的输入为 I V ⊕ { b } b IV\oplus \{b\}^b IV⊕{b}b；设$IV$的首个字节为$x$，则PRP的输入为 ( x ⊕ b ) ∥ ( { ⋅ } b − 1 ⊕ { b } b − 1 ) (x \oplus b) \| (\{\cdot\}^{b-1} \oplus \{b\}^{b-1}) (x⊕b)∥({⋅}b−1⊕{b}b−1)；
      • 将$IV$的首个字节从$x$改成$y$变为 y ∥ ( { ⋅ } b − 1 ) y \| (\{\cdot\}^{b-1}) y∥({⋅}b−1)，不改变$c_1$解密得到的PRP的输入不会变，而解密出的明文会改变为 ( x ⊕ y ⊕ b ) ∥ { b } b − 1 (x \oplus y \oplus b) \| \{b\}^{b-1} (x⊕y⊕b)∥{b}b−1；
      • 上述明文首个字节一定不是$b$，这是填充格式错误，会触发服务器返回错误；
      • 如果上面的尝试没有触发错误，那么说明消息非空；下一步，发现消息长度是否为1字节，方法与上一步一样，区别在于只改变$IV$的第2个字节；如此继续，获得消息的长度；（作业）

37. 填充预言机攻击：获得消息内容

    • 一旦获得消息的长度，也就知道了填充的长度$b$，采用下面的方法来获得消息的最后一个字节内容，进而获得整个消息；
    • 更改密文中倒数第二块，来获得消息的最后一个字节$s$；
    • 明文的最后一个块 m l a s t = ⋯ s ∥ { b } b m_{last} = \cdots s \| \{b\}^{b} mlast​=⋯s∥{b}b，密文的倒数第二个块 c l a s t − 1 = ⋯ t ∥ { ⋅ } b c_{last-1} = \cdots t \| \{\cdot \}^{b} clast−1​=⋯t∥{⋅}b；
    • 最后一块的PRP输入为 c l a s t − 1 ⊕ m l a s t = ⋯ ( s ⊕ t ) ∥ ( { b } b ⊕ { ⋅ } b ) c_{last-1} \oplus m_{last} = \cdots (s \oplus t) \| (\{b\}^b \oplus \{\cdot \}^{b}) clast−1​⊕mlast​=⋯(s⊕t)∥({b}b⊕{⋅}b)；
    • 敌手更改 $c_{last-1}$ 为 c l a s t − 1 ′ = ⋯ u ∥ ( { ⋅ } b ⊕ { b } b ⊕ { b + 1 } b ) c_{last-1}' = \cdots u \| (\{\cdot \}^{b} \oplus \{b\}^{b} \oplus \{b+1\}^{b}) clast−1′​=⋯u∥({⋅}b⊕{b}b⊕{b+1}b)；其中，$u$是敌手猜测的某个字节；
    • 解密获得最后一块明文 m l a s t ′ = c l a s t − 1 ⊕ m l a s t ⊕ c l a s t − 1 ′ = ⋯ ( s ⊕ t ⊕ u ) ∥ { b + 1 } b m'_{last} = c_{last-1} \oplus m_{last} \oplus c_{last-1}' = \cdots (s \oplus t \oplus u)\| \{ b+1 \}^b mlast′​=clast−1​⊕mlast​⊕clast−1′​=⋯(s⊕t⊕u)∥{b+1}b；
    • 如果没有返回坏填充错误，那么意味着填充了$b+1$个字节的$b+1$，所以 $s\oplus t\oplus u=(b+1)$ ，而 $s=t\oplus u\oplus (b+1)$ 。

38. 总结

    • 略