【算法与数据结构】509、LeetCode斐波那契数

文章目录

  • 一、题目
  • 二、递归,动态规划解法
    • 2.1 递归解法
    • 2.2 动态规划解法
  • 三、完整代码

所有的LeetCode题解索引,可以看这篇文章——【算法和数据结构】LeetCode题解。

一、题目

在这里插入图片描述

二、递归,动态规划解法

2.1 递归解法

  思路分析:斐波那契数列可以用递归实现,下面直接给出代码,非常简单。递归的代码简单,但是递归的速度很慢,因为递归代码中的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  程序如下

class Solution {
public:int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21if (n <= 1) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),一个fib(n)时间复杂度为 O ( ( 1 + n ) ∗ n / 2 ) = O ( n 2 ) O((1+n)*n/2)=O(n^2) O((1+n)n/2)=O(n2)
  • 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),递归中栈所需的空间。

2.2 动态规划解法

  思路分析:动态数组为 d p [ i ] = d p [ i − 1 ] + d p [ i − 2 ] dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] dp[i]=dp[i1]+dp[i2],根据此公式,写出如下代码。
  程序如下

class Solution {
public:int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n + 1);	// 动态规划中的dp数组dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
  • 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

  但是实际上,我们可以看到计算斐波那契数列只需要用到两个值,不必保留整个动态数组。因此对上述代码进行内存优化,空间复杂度从 O ( n ) O(n) O(n)变成 O ( 1 ) O(1) O(1)

class Solution {
public:int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21if (n <= 1) return n;int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
  • 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
using namespace std;//class Solution {
//public:
//	int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21
//		if (n <= 1) return n;
//		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
//	}
//};//class Solution {
//public:
//	int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21
//		if (n <= 1) return n;
//		vector<int> dp(n + 1);	// 动态规划中的dp数组
//		dp[0] = 0;
//		dp[1] = 1;
//		for (int i = 2; i <= n; i++) {
//			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
//		}
//		return dp[n];
//	}
//};class Solution {
public:int fib(int n) {		// 1 1 2 3 5 8 13 21if (n <= 1) return n;int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};int main() {int n = 4;Solution s1;int result = s1.fib(n);cout << result << endl;system("pause");return 0;
}

end

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