线性代数——(期末突击)行列式(上)-行列式计算、行列式的性质

目录

行列式

行列式计算

逆序数 

行列式的性质

转置

两行(列)互换

两行(列)对应相等

提公因子

两行(列)对应成比例

某行(列)为零

行列式分裂

行列式变换及三角行列式


行列式

行列式计算

  • 行列式:A_{ij}(i是行标,j是列标) 
  • 计算方法(以二阶行列式为例):主对角线(ad)减去次对角线(bc)

\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}=ad-bc

  • 三阶行列式同理

\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{vmatrix} 

\left [(1\times 5\times9)+(2\times6\times7)+(3\times4\times8) \right ]\: \: \: -\left [ (3\times5\times7)+(2\times4\times9)+(1\times6\times8) \right ]

逆序数 

  • 逆序数:本质就是数一下大的数排在小的数前面的个数

例如,4213的逆序数为3+1=4。简单解释一下:4213原本的顺序应为1234,对于‘4’而言,‘2’、‘1’、‘3’都应该排在它的前面,所以此处记逆序数为3;对于‘2’而言,‘1’应该排在它的前面,而‘3’排在它之后 是合理的,所以此处只有一个逆序数;最后看‘1’,其后面的‘3’排在后面显然也是合理的,故而4213的逆序数为4.

换个例子,大家可以自行理一遍:5712的逆序数为4.

行列式的性质

转置

即行列互换。

D=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 1& 1 &1 \\ 8&8 &8 \end{vmatrix}         D^T=\begin{vmatrix} 1 &1 &8 \\ 2& 1& 8\\ 3&1 &8 \end{vmatrix}

两者的值相等。D=D^T

两行(列)互换

行列式两行(列)进行互换时,其值要变号。(变换一次就变一次号)

例:

D=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 5&6 &7 &8 \\ 9&10 &11 &12 \\ 13& 14& 15 &16 \end{vmatrix}        

将第一行和第三行互换,

D_1=\begin{vmatrix} 9 &10 &11 &12 \\ 5& 6 & 7 &8 \\ 1&2 &3 &4 \\ 13& 14& 15&16 \end{vmatrix}

此时D_1=-D.

两行(列)对应相等

行列式如果两行或者两列对应相等,则该行列式值为0.

D=\begin{vmatrix} 2 &3 &4 &5 \\ 1& 0 & 0 &0 \\ 2&3 &4 & 5\\ 8& 8 &8 &1 \end{vmatrix}        D_1=\begin{vmatrix} 2 &3 &4 &5 \\ 1& 0 & 0 &0 \\ 2&3 &4 & 5\\ 8& 8 &8 &1 \end{vmatrix}=-D\Rightarrow D=0

提公因子

行列式中某一行或者某一列都有公因子K,则K可以提到行列式外。(每一行提一次或者每一列提一次)

例:

D=\begin{vmatrix} 1K &2K &3K \\ 4K& 5K& 6K\\ 7K& 8K &9K \end{vmatrix}=K^3\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 4& 5 &6 \\ 7& 8 & 9 \end{vmatrix}

两行(列)对应成比例

若行列式两行或两列元素对应成比例,则该行列式等于0.

例:

D=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 1& 1 &1 \\ 8& 8 &8 \end{vmatrix}=8\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 1& 1& 1\\ 1& 1 &1 \end{vmatrix}=0

某行(列)为零

若行列式某一行(列)为0,则该行列式=0.

注意,由D=0不能推出以下性质:

  • 全为0
  • 两行相等
  • 成比例

行列式分裂

将和的那一行分开,其余行保持不变列同理,(举例说明比较容易理解)

例:

\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 7+8 & 2+3 &9+10 \\ 8 &8 &9 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 7 & 2&9 \\ 8 &8 & 9 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 8 & 3 &10 \\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix}

行列式变换及三角行列式

某一行(列)乘以一个数,再加到另一行上去,其值不变。

这一性质是最重点的,也是最常用的,就不再赘述;下面回顾一下 上三角行列式、下三角行列式以及反三角行列式的计算:

以主对角线为分界线的就为正三角,反之则为反三角行列式。

上三角

\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 0&5 &6 \\ 0& 0 &9 \end{vmatrix}=1\times5\times9=45

下三角:

\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 4&5 &0 \\ 7& 8&9 \end{vmatrix}=1\times5\times9=45

反上三角:

\begin{vmatrix} 1 &2 & 3\\ 4 & 5 &0 \\ 7 & 0 &0 \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\times3\times5\times7=(-1)^{\frac{3(3-1)}{2}}\times105=-105

反下三角: 

\begin{vmatrix} 0 &0 &3 \\ 0 &5 &6 \\ 7& 8 & 9 \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\times3\times5\times7=(-1)^{\frac{3(3-1)}{2}}\times105=-105

显然地,

\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0&0 & 3 \end{vmatrix}=1\times2\times3=6

一般我们使用这个性质来计算四阶行列式,也就是将其变换成三角行列式,再计算对角线的值;称为“化三角法”。

注意:

  1. 变换过程中,先处理第一行(列),再处理第二行(列),依次向后
  2. 若第一行(列)处理完,则第一行(列)不再参与运算,往后同理

END


学习自:https://www.bilibili.com/video/BV1xM41147Mj?vd_source=11f3dfb26d11a6a6832ed5c079654e1c

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