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本文参考：
B站：DR_CAN

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1. 根的作用

$$G\left(s\right)=\frac{s+3}{s^2+2s+4}$$
Matlab可绘制 riocus(g)
掌握根的变化规律 ， 设计控制器，补偿器 ： Compentator Lead Lag…

根 —— 极点

1. 一阶系统
   
2. 二阶系统
   
   
3. 三阶系统
   

2. 手绘技巧

Matlab可以精确绘制——手绘——掌握根的变化规律——设计控制器

根轨迹的基本形式

根轨迹研究的是： 当$K$从0到$+\infty$时，闭环系统根（极点）位置的变化规律

$$1+KG\left(s\right)=0,G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}=\frac{\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right)\cdots \left(s-z_{\mathrm{m}}\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)\cdots \left(s-p_{\mathrm{n}}\right)}$$

其中，$z_1\cdots z_{\mathrm{m}}$ 为零点 Zeros $\odot$ ， $p_1\cdots p_{\mathrm{n}}$ 为极点 Poles $\times$

规则1 ：共有$n$条根轨迹， 若$n>m$；共有$m$条根轨迹，若$m>n$； ⇐ max ⁡ { m , n } \Leftarrow \max \left\{ m,n \right\} ⇐max{m,n}
规则2 ：若$m=n$，随着$K$从 $0\to \infty$ ， 根轨迹从$G\left(s\right)$的极点向零点移动：$1+KG\left(s\right)=0\Rightarrow D\left(s\right)+KN\left(s\right)=0$ ， $K\to 0$ 时$D\left(s\right)=0$（极点）；$K\to \infty$ 时 $N\left(s\right)=0$ （零点）
规则3：实轴上的根轨迹存在于从右向左第奇数个极点/零点的左边
规则4：若附属跟存在，则一定是共轭的，所以根轨迹通过实轴对称
规则5：若$n>m$ ， 则有$n-m$个极点指向无穷；若$m>n$ ， 则有$m-n$条根轨迹从无穷指向零点
规则6：根轨迹延渐近线移动，渐近线与实轴的交点$\sigma =\frac{\sum p-\sum z}{n-m}$ ，渐近线与实轴的夹角$\theta =\frac{2q+1}{n-m}\pi ,q=0,1,...,n-m-1/m-n-1$

3. 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质

以 2nd-order system 为例：

Properties of Root locus