Think in Java之斐波那契数列

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）。

与黄金分割的关系

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割0.618. 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...

越到后面，这些比值越接近黄金比。

证明：

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

两边同时除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，

则lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以极限是黄金分割比..

如果你看到有这样一个题目：

某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65？

其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

斐波那契数列的整除性与素数生成性

每3个数有且只有一个被2整除，

每4个数有且只有一个被3整除，

每5个数有且只有一个被5整除，

每6个数有且只有一个被8整除，

每7个数有且只有一个被13整除，

每8个数有且只有一个被21整除，

每9个数有且只有一个被34整除，　

.......

我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

斐波那契数列的素数无限多吗？

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契数列中是否存在无穷多个素数？[维基百科]

在斐波那契数列中，有素数：

2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,99194853094755497,1066340417491710595814572169,19134702400093278081449423917……

目前已知最大素数是第81839个斐波那契数，一共有17103位数。

相关的数学问题

1.排列组合

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：

登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2） - [(1-√5)/2]^（10+2）}=144种。

2.数列中相邻两项的前项比后项的极限

当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1）的极限是多少？

这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。

3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

4.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔民数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

－－－－－－ 依次类推可以列出下表：

经过月数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔对数	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔对数	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
总体对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<；算盘全书>；中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）`````

可惜本人是文科生，看不懂也不记得那些所谓的数学公式了，以前素材只摘选感兴趣的部分。

来源于百度：http://baike.baidu.com/view/816.htm

我只感兴趣的是后面这几段代码的实现：

package com.tudou.t1;

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

/**
 * 斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21....[]
 *
 * @author lz
 *
 */
public class Fibonacci {
    public static void main(String[] args) {
        fib();//常规算法
        System.out.println(compute2(5));//计算第n个斐波那契数列的数
        fibHign();// Java语言程序（高精度，约一秒钟计算第20000个数值）
    }

    private static void fib() {
        int x = 1, y = 1;
        System.out.println(x);
        for (int i = 1; i <= 5; i++) {
            System.out.println(y);
            y = x + y;
            x = y - x;
        }
    }

    // n为第n个斐波那契数列的数
    public static BigInteger compute2(int n) {
        if (n == 1 || n == 2) {
            return BigInteger.ONE;
        }
        BigInteger num1 = BigInteger.ONE;
        BigInteger num2 = BigInteger.ONE;
        BigInteger result = BigInteger.ZERO;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            result = num1.add(num2);
            num2 = num1;
            num1 = result;
        }
        return result;
    }

    // Java语言程序（高精度，约一秒钟计算第20000个数值）
    private static void fibHign() {
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        System.out.print("请输入一个整数:");
        int n = s.nextInt();
        do {
            cul(n);
            n = s.nextInt();
        } while (n > 0);// 当n<=0时终止
    }

    private static void cul(int n) {
        BigIntT b = new BigIntT();
        BigIntT a = new BigIntT();
        b.formatBigInt("1");
        a.formatBigInt("2");
        if (n == 1 || n == 2) {
            System.out.println(1);
            return;
        }
        int i = 3;
        for (; i <= n; i++) {
            if (i % 2 > 0)
                b.add(a);
            else
                a.add(b);
        }
        BigIntT t = null;
        if (i % 2 > 0)
            t = b;
        else
            t = a;
        for (int j = t.getPos(); j < 100000; j++)
            System.out.print(t.getBase(j));
        System.out.println();
    }
}

class BigIntT {
    int max = 100000;
    private byte[] base = new byte[max];
    private int pos = max;

    public void formatBigInt(String arr) {
        int l = arr.length();
        if (l == 0)
            return;
        int tmp = l - 1;
        for (int i = max - 1; i >= max - l; i--) {
            base[i] = (byte) (arr.charAt(tmp--) - '0');
            pos--;
        }
    }

    public void add(BigIntT right) {
        int bigger = this.getPos() > right.getPos() ? right.getPos() : this
                .getPos();
        pos = bigger;
        for (int i = max - 1; i >= pos - 2; i--) {
            int t = this.base[i] + right.getBase(i);
            if (t >= 10) {
                this.base[i] = (byte) (t % 10);
                this.base[i - 1] += t / 10;
                if (i - 1 < pos)
                    pos = i - 1;
            } else {
                this.base[i] = (byte) t;
            }
        }
    }

    public int getPos() {
        return pos;
    }

    public byte getBase(int index) {
        return base[index];
    }
}

控制台输出结果为：

1 
1 
2 
3 
5 
8 
5

请输入一个整数:500

139423224561697880139724382870407283950070256587697307264108962948325571622863290

691557658876222521294125