一、摘要

    度量学习算法产生的距离度量捕获数据之间的重要关系。这里，我们将度量学习和协同过滤联系起来，提出了协同度量学习（CML），它可以学习出一个共同的度量空间来编码用户偏好和user-user 和 item-item的相似度。

二、背景

2.1 Metric Learning

     令$\chi = \{x_1, x_2,\dots, x_n\}$是空间$\mathbb{R}^m$上的一个数据集。
相似对记为：

$$\mathcal{S} = \{(x_i, x_j) | x_i 和 x_j 被认为是相似的\}$$
非相似对记为：
$$\mathcal{D} = \{(x_i, x_j) | x_i 和 x_j 被认为是不相似的\}$$

最普通的度量学习方法采用的是马氏距离度量：

$$d_A(x_i, x_j) = \sqrt{(x_i-x_j)^TA(x_i-x_j)}$$
其中 $A$是空间$\mathbb{R}^m\times m$上的半正定矩阵。这个式子将输入 $x$映射到空间$\mathbb{R}^m$上，且满足一些期望的限制。有很多方法来创建这样一个距离，最常用的方法是全局法，来解决如下凸优化问题：
$$min_A \sum_{(x_i,x_j) \in \mathcal{S} } d_A(x_i, x_j)^2\\ st.\quad \sum_{(x_i,x_j) \in \mathcal{D} } d_A(x_i, x_j)^2 \ge 1 \quad and \quad A \ge 0$$
还有其他一些方法，比如非线性转换函数，比如核函数和神经网络，可以提高度量的准确性。

2.2 Metric Learning for kNN

     上边的全局优化本质上式试图学习一种距离：它将相似的放在一起，将不相似的尽量分开。另一方面，如果学习到的度量被用作knn分类，只要保证目标与k个近邻共享一个类标就足够了。
     具体来说，给定一个输入$x$,我们把离$x$近的数据点作为它的target neighbors。并且假设$x$的target neighbors构建了不同类标之间的边界。不同类标的输入侵入边界被作为importors。这里，学习的目标就是最小化importors的个数。
     一种为人知模型是LMNN，它使用2个损失函数来表达上述目标函数。
1. LMNN定义了pull loss：

$$\mathcal{L}_{pull}(d)=\sum_{j \to i}d(x_i,x_j)^2$$
其中，$j$是$i$的target neighbor。
2. push loss：

$$\mathcal{L}_{push}(d)=\sum_{i,j \to i} \sum_k (1-y_{ik})[1+d(x_i,x_j)^2-d(x_i,x_k)^2]_+$$
其中，如果 $i$和$k$拥有同一个类标，则 $y_{ik}=1$,否则， $y_{ik}=0$ $[z]_+ = \max(z,0)$.完整的损失函数是结合上述两个损失函数， 可以通过半正定编程来进行优化。

2.3 Collaborative Filtering

     这里重点关注隐性反馈的CF，传统的CF算法是基于用户相似计算出的。MF是一种流行的CF算法，普通的MF模型设计为用户的显性反馈，它是通过将users 和items映射到潜在因子空间上，那么user-item的关系可以通过潜在因子的乘积获得。
$r_{ij}$记为用户$i$对item$j$的打分，用户向量$\vec{u_i} \in \mathbb{R}^r$和item向量$\vec{v_j} \in \mathbb{R}^r$,它们的乘积为$\vec{u_i} ^T\vec{v_j}$,这个式子让最优化问题变为最小化集合上的均方误差：

$$\min_{u_*,v_*} \sum_{r_{ij}\in \mathcal{K}}(r_{ij}-\vec{u_i} ^T\vec{v_j})^2 + \lambda_{u}||\vec{u_i}||^2 + \lambda_{v}||\vec{v_i}||^2$$
其中， $\mathcal{K}$是分数集合， $\lambda_{u}, \lambda_{v}$是 $L^2$正则化的超参数。

隐性反馈(Implicit feedback)和贝叶斯个性(Bayesian personalized ranking)化排序略过，感兴趣的可以自己查询资料。