一、Dijkstra算法

问题描述：求一个点到任意个点的距离
思路：单源最短路径问题，使用Dijkstra算法

Input：
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4

Output：
0 1 8 4 13 17

import java.util.Scanner;public class minPath4 {static int[][] e = new int[10][10];static int[] book = new int[10];static int[] dis = new int[10];static int n, m;static int min = 99999999;static int mark = 0;static Scanner input = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = input.nextInt();m = input.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (i == j) {e[i][j] = 0;} else {e[i][j] = 99999999;}}}for (int i = 1; i <= m; i++) {int a = input.nextInt();int b = input.nextInt();int c = input.nextInt();e[a][b] = c;}/*** 1到其他各点的距离* */for (int i = 1; i <= n; i++) {dis[i] = e[1][i];}book[1] = 1;dijkstra();for (int i = 1; i <= n; i++) {System.out.print(dis[i] + " ");}}public static void dijkstra() {/*** 遍历n-1次，每次找出一个 1到某个点的最短距离* */for (int i = 1; i <= n-1; i++) {min = 99999999;/*** 选出离1号点最近的顶点* */for (int j = 1; j <= n; j++) {if (book[j] == 0 && dis[j] < min) {min = dis[j];mark = j;}}book[mark] = 1;/*** 松弛* */for (int j = 1; j <= n; j++) {if (e[mark][j] < 99999999) {if (dis[j] > dis[mark] + e[mark][j]) {dis[j] = dis[mark] + e[mark][j];}}}}}
}

Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)
这是采取邻接矩阵存放数据的时间复杂度。而如果采用下面的邻接表将会使算法的时间复杂度优化为O((M+N)logN)

邻接表：
数据存储思路：u[i],v[i],w[i] 代表存储u[i]——->v[i]的两个可连通的点，w[i]代表权值
first[u[i]]存放顶点u[i]的第一条边编号，next[i]存放编号为i的边的下一条边

下面给出邻接表定义和打印的代码，感兴趣的读者可以将其运用到Dijkstra算法中

import java.util.Scanner;public class minPath {static int[] u = new int[6];static int[] v = new int[6];static int[] w = new int[6];static int[] first = new int[6];static int[] next = new int[6];static int n, m;static int k;static Scanner input = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = input.nextInt();m = input.nextInt();for (int i = 1; i <= m; i++) {u[i] = input.nextInt();v[i] = input.nextInt();w[i] = input.nextInt();for (int j = 1; j <= n; j++) {first[i] = -1;}next[i] = first[u[i]];first[u[i]] = i;}for (int i = 1; i <= n; i++) {k = first[i];while (k != -1) {System.out.println(u[k] + " " + v[k] + " " + w[k]);k = next[k];}}}
}

对于单源最短路径使用Dijkstra算法的确是一个好方法，但是如果是多源最短路径问题呢？
当然，我们可以才用n次Dijkstra算法解决，但是下面的Floyd算法貌似给了我们更友好的解法

而且当出现带有负权值的图的时候，这Dijkstra算法就没有办法解决了,我在这篇文章整理了另一种算法来针对单源带负权最短路径问题。
图论算法（三）–最短路径 的Bellman-Flod [ 带负权值图 ] 的解法（JAVA ）

---

二、Floyd算法

问题描述：有如下的地图，求任意两点之间的最短距离
思路：典型的多源最短路径问题，这大可以使用n^2次深搜或者广搜完成，但是下面的Floyd算法才是更巧妙、快速的一种算法

Input:
4 8
1 2 2
1 3 6
1 4 4
2 3 3
3 1 7
3 4 1
4 1 5
4 3 12
Output:
0 2 5 4
9 0 3 4
6 8 0 1
5 7 10 0

import java.util.Scanner;public class minPath {static int[][] e = new int[10][10];static int n, m;static Scanner input = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = input.nextInt();m = input.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (i == j) {e[i][j] = 0;} else {e[i][j] = 99999999;}}}for (int i = 1; i <= m; i++) {int a = input.nextInt();int b = input.nextInt();int c = input.nextInt();e[a][b] = c;}floyd();for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {System.out.print(e[i][j] + " ");}System.out.println();}}public static void floyd() {for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j]) {e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];}}}}}
}