减治法在查找算法中的应用

快速查找：选择问题是求一个n个数列表的第k个最小元素的问题，这个数k被称为顺序统计量。对于k=1或k=n来说，这并没有什么意义，我们通常会要找出这样的元素：该元素比列表中一半元素大，比另一半元素小，这样的元素被称为中值。我们当然可以对列表进行排序，之后找出对应下标的值，但是！！！这样一个查找问题，反而要对整个列表排序，是不是有点多余了呢？

这里引入划分的概念我们可以标定一个枢轴（任意元素，一般为首个元素），使得左半部分元素均小于枢轴，右半部分均大于枢轴。划分的方法由两种，Lomuto划分和Hoare划分。这里仅介绍Lomuto。

我们假设有一个数组a[0, n-1],其子数组为a[l, r](0 <= l <= r <= n-1),假定首个元素为枢轴p，将该数组分为三段，顺序放在p之后，依次为，第一段[元素小于p]，第二段[元素大于等于p]，第三段[尚未处理元素]。算法开始时前两段均为空。

从i = l+1开始，从左到右扫描子数组a[l, r],将第三段的首个元素与p比较，若a[i]>=p，执行i+1，这就相当于将a[i]划入了第二段，同时缩小了第三段；若a[i]<p，需要将s+1(s始终指向第一段的末位元素)，同时交换a[i]与a[s]，之后i+1。直到第三段为空，交换a[p]与a[s]。

下图为Lomuto划分示意图：

熟悉快速排序的读者估计看出来了，这就是快速排序中的一部分函数，只不过没有接触过Lomuto这种叫法而已。

当然，我们这里使用的方法就是快速选择(“快速”这一方法一开始并非用于排序，而是查找)，下面给出查找第k小元素的代码：

public class Main {static int[] a= {89, 45, 68, 90, 29, 34, 17};static int k = 2;public static void main(String[] args) {System.out.println(fastsort(0, a.length-1, k));for (int i = 0; i < a.length; i++) {System.out.print(a[i] + " ");}}private static int Lomuto(int l, int r) {int p = a[l];int s = l;for (int i = l+1; i <= r; i++) {if (a[i] < p) {s = s+1;int temp = a[s];a[s] = a[i];a[i] = temp;}}int temp = a[l];a[l] = a[s];a[s] = temp;return s;}private static int fastsort(int l, int r, int k) {int s = Lomuto(l, r);/*** s在划分之后变成了枢轴所在的位置下标，如果s=k,输出a[s]* 这里要写成l+k-1，如果划分到右侧，只写k会出问题* */if (s == l + k - 1) {return a[s];}else if (s > l + k - 1){return fastsort(l, s-1, k);} else {return fastsort(s+1, r, l+k-1-s);}}
}

不幸的是，这样的算法时间复杂度为O(n^2)，比之前基于排序的方法实际上更糟糕，但是分析表明，这种方法的平均情况下效率是线性的。而且基于划分的算法不仅可以查找第k小的元素，还可以给出列表中k个最小元素和n-k个最大元素。