蛮力法在求解最优解问题中的应用（JAVA）--旅行家问题、背包问题、分配问题

蛮力法在求解最优解问题中的应用

1、TSP（旅行商问题）要求我们找出一条n个给定城市之间的最短路径，使我们再回到出发的城市之前，对欧每个城市都只访问一次。我们可以用赋权图来描述这个问题，那么算法的目的就是求解一个图的最短哈密顿回路问题。

哈密顿回路同样可以定义为

其中第一个顶点和最后一个顶点相同，其他n-1个顶点互不相同。那么我们就可以通过生成n-1个中间城市的组合来的到所哟逇旅行线路，来出最短的线路。

import java.util.Scanner;public class Main {static int[][] a = new int[5][5];static int[] bestWay = new int[6];static int min = 99999999;static int sum = 0;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {/*** 假设a为1号点，b为2号点,c为3号点，d为4号点* 1 2 2* 1 3 5* 1 4 7* 2 3 8* 2 4 3* 3 4 1* */for (int i = 1; i < 7; i++) {int x = in.nextInt();int y = in.nextInt();int z = in.nextInt();a[x][y] = z;a[y][x] = z;}for (int i = 2; i < a.length; i++) {for (int j = 2; j < a.length; j++) {if (j != i) {for (int k = 2; k < a.length; k++) {if (k != i && k != j) {sum = a[1][i] + a[i][j]  + a[j][k] + a[k][1];if (min > sum) {min = sum;bestWay[1] = 1;bestWay[2] = i;bestWay[3] = j;bestWay[4] = k;bestWay[5] = 1;}}}}}}for (int i = 1; i < bestWay.length-1; i++) {System.out.print(bestWay[i] + "-->");}System.out.println(bestWay[bestWay.length-1]);System.out.println(min);}
}

发现问题：我们可以发现这有3对不同的线路，而对于每队线路中，不同的只是线路的方向。

优化思路：固定住每条线路的方向，将顶点排列数目减半。

实际上用蛮力方法来解决这种问题是极为不明智的，这里只是给出一个思路，当顶点数目过多时还是要采用诸如动态规划，贪心等方法来优化的。

2、背包问题给定n个重量为w1，w2，w3...wn, 价值为v1，v2，v3...vn的物品和一个称重为C的背包，求这些物品中一个最有价值的子集。

import java.util.Scanner;public class Main {static int n, c;static int max = 0;static int[] w, v;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = in.nextInt();c = in.nextInt();w = new int[n+1];v = new int[n+1];for (int i = 1; i <= n; i++) {w[i] = in.nextInt();v[i] = in.nextInt();}/*** 对于n个物品，会存在2^n个中组合方式* 采用二进制的1,0来表示物品是否被选择，比采用数组要方便，数组每次都要遍历一遍* */for (int i = 0; i <= Math.pow(2, n); i++) {int k = i;int tempw = 0;int tempv = 0;for (int j = 1; j <= n; j++) {/*** 二进制位对应w[],v[]* 每次检查末位数字是否为1，之后数去除末位数字* */if (k % 2 == 1) {tempw += w[j];tempv += v[j];}k /= 2;}if (tempw <= c) {if (tempv > max) {max = tempv;}}}System.out.println(max);}
}

发现问题：显然2^n次的迭代始终效率都是低下的

优化思路：背包问题最好的解决方法自然是用动态规划来解决，当然也可以用回溯或者分支界限法。

3、分配问题可以理解为有n个任务需要分配给n个人执行，一个任务对应一个人。对于每一对i,j=1,2,3,...,n来说，将第j个任务分配给第i个人的成本是c[i,j]，求出总成本最小的方案。我们当然不能从每一行中选出最小的元素，因为这写最小的元素可能在同一列。这个问题和旅行商问题有相似之处，基本思路也是将数据放到一个成本矩阵C中，枚举出每种情况，找出成本最小值