动态规划在求解背包问题中的应用

背包问题向来是动态规划的典型问题，给定n个重量为w1,w2,...,wn，价值为v1,v2,...,vn的物品和一个称重量为W的背包，求这些物品中最优价值的一个子集，且能够装到背包中。

之前用蛮力法做过背包问题蛮力法在求解最优解问题中的应用（JAVA）--旅行家问题、背包问题、分配问题

这篇文章中采用动态规划思想解决，我们首先要推导出一个关系，用较小子实例的解来表示背包问题整体实例的解。我们先来考虑前i个物品（1<=i<=n）定义的实例，物品重量分别为w1,w2,...,wi，价值分别为v1,v2,...,vi，背包承重量为j（1<=j<=W）。设F(i, j)表示该实例的最优解的物品总价值，那么对于这样一个实例，我们可以分为不取第i个物品和取第i个物品两种情况，如果不取第i个物品，那么最优子集的价值为F(i-1, j)；如果取第i个物品，那么总价值为vi+前i-1个物品点1最大价值F(i-1, j-wi)。由此我们得出下面的递推公式：

我们还可以知道初始条件：

当j>=0时，F(0, j) = 0； 当i >= 0时，F(i, 0) = 0

回溯解法：

import java.util.Scanner;public class Main {static int[] w = new int[10];static int[] v = new int[10];static int n, W;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = in.nextInt();W = in.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {w[i] = in.nextInt();v[i] = in.nextInt();}System.out.println(f(n, W));}private static int f(int n, int W) {if(n == 0 || W == 0){return 0;}for(int i = n;i >=0; i--) {if(w[i] > W) {return f(n-1, W);} else {return Math.max(f(n-1, W), f(n-1, W-w[i])+v[i]);}}return 0;}
}

记忆化求解：

import java.util.Scanner;public class Main {static int[] w = new int[10];static int[] v = new int[10];static int[][] f = new int[10][10];static int n, W;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = in.nextInt();W = in.nextInt();for (int i = 0; i < f.length; i++) {for (int j = 0; j < f[0].length; j++) {f[i][j] = 0;}}for (int i = 1; i <= n; i++) {w[i] = in.nextInt();v[i] = in.nextInt();}System.out.println(f(n, W));}private static int f(int i, int j) {int temp;if(f[i][j] <= 0 && i>0) {if (j < w[i]) {temp = f(i-1, j);} else {temp = Math.max(f(i-1, j), v[i] + f(i-1, j - w[i]));}f[i][j] = temp;}return f[i][j];}
}

由于DP问题经常有重叠子的计算问题，所以自顶向下的记忆化DP方法要优于自底向上的回溯算法。

滚动数组：

import java.util.Scanner;public class Main {static int maxV, maxM, n;static int[] v,k;static int[] f;public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);maxV = in.nextInt();maxM = in.nextInt();f = new int[maxV + 1];n = in.nextInt();v = new int[n + 1];k = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = in.nextInt();k[i] = in.nextInt();}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = maxV; j >= 0; j--) {for (int s = maxM; s >= 0; s--) {if (j >= v[i] ) {f[j] = Math.max(f[j-v[i]] + k[i], f[j]);}}}}System.out.println(f[maxV]);}
}