动态规划：这种算法思想多用来求解最优化问题，因此这里存在一个最优化法则，法则指出最优化问题任一实例的最优解，都是由其子实例的最优解构成的。一般来说，自底向上的动态规划更容易设计，但是带有记忆功能的自顶向下的动态规划跟能高效的解决问题（尤其是针对重叠子的问题）。

1、币值最大化问题：给定一排n枚硬币，面值为正整数c1，c2，...，cn,面值可能相同，请问如何选取硬币，可以使得在其原始位置不相邻的条件下。所选币值总和最大。

思路：我们可以将问题划分为取最后一枚硬币和不取最后一枚硬币。根据不相邻这一条件，若取最后一枚硬币，则我们继续判断前n-2枚硬币中的币值总和最大问题；若不取最后一枚，则我们继续判断前n-1枚硬币中的币值总和最大问题。

由此得到递推方程如下，并且我们已知F(0) = 0，F(1) = c1,

Input:

6

5 1 2 10 6 2

Output:

17

 

import java.util.Scanner;public class Main {static int[] c = new int[10];static int[] f = new int[10];static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {int n = in.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {c[i] = in.nextInt();}System.out.println(coinRow(n));}private static int coinRow(int n) {f[0] = 0;f[1] = c[1];for (int i = 2; i <= n; i++) {f[i] = Math.max(c[i] + f[i-2], f[i-1]);}return f[n];}
}

我们在这个过程中不仅得出了最大金额为17，我们在f[]中也可以求得前i枚硬币（1<=i<=6）的最大金额。时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

 

2、找零问题：假设我们需要找零的金额为n，至少需要多少面值为d1<d2<...<dm的硬币？其中d1 = 1，且每种面值的硬币无限制。

思路：我们可以理解获得n的途径为：在总金额为n-dj的一堆硬币中在找一枚面值为dj的硬币，其中j=1,2，...,m，且n>=dj。因此找到一个满足要求的dj使得F(n-dj) + 1最小的dj即可。由于1是常量，所以我们需要专注寻找一个最小的F(d-dj)。

由此得到的递推公式如下，且一直F(0) = 0

Input:

6

1 3 4

Output:

2

 

import java.util.Scanner;public class Main {static int[] c = new int[10];static int[] f = new int[10];static int sum;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {sum = in.nextInt();int n = in.nextInt();c[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {c[i] = in.nextInt();}System.out.println(changeMaking(n));}private static int changeMaking(int n) {for (int i = 1; i <= sum; i++) {int temp = 99999999;int j = 1;while (j <= n && i >= c[j]) {temp = Math.min(f[i-c[j]], temp);j++;}f[i] = temp +1;}return f[sum];}
}

3、硬币收集问题：在n*m格模板中放有一些硬币，每格的硬币数目最多为一个。从左上方开始收集，尽可能收集多的硬币直到右下角对于每个单元格来说，只能取对应右边一格或者下边一格的硬币。试求出最大的硬币数及相应的路径。思路：我们假设F(i, j)为行走到(i, j)所能收集到的最大硬币数。单元格(i, j)可以经由上方(i-1, j)和左侧单元格(i, j-1)到达。单元格(i-1 ,j)对应的最大硬币数为F(i-1, j)，(i, j-1)对应的最大硬币数为F(i, j - 1)。当然，第一行单元格上方没有单元格，第一列单元格左边没有单元格，即F(i-1, j) = 0，F(i, j-1) = 0，所以其递推公式为：

 

Input:

5 6

0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0

Output:

5

 

import java.util.Scanner;public class Main {static int[][] c = new int[10][10];static int[][] f = new int[10][10];static int sum, n, m;static Scanner in = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = in.nextInt();m = in.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {c[i][j]  = in.nextInt();}}f[1][1] = c[1][1];System.out.println(coinCollection());}private static int coinCollection() {/*** 左上角，初始位置* */f[1][1] = c[1][1];/*** 第一列只有上方来的* */for (int i = 2; i <= n; i++) {f[i][1] += f[i-1][1];}/*** 第一行只有左侧来的* */for (int j = 2; j <= m; j++) {f[1][j] += f[1][j-1];}for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 2; j <= m; j++) {f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i][j-1]) + c[i][j];}}return f[n][m];}
}