【OpenCV 例程200篇】72. 一维离散傅里叶变换
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1.3 一维离散傅里叶变换
数字信号和数字图像都是采样得到的离散变量。
对原函数的变换取样后的数据
F~(μ)=∫−∞+∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞+∞∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞∫−∞+∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞fne−j2πμnΔT\begin{aligned} \tilde{F}(\mu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{f}(t) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t-n{\Delta T}) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t-n{\Delta T}) e^{-j 2 \pi \mu t} dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n e^{-j 2 \pi \mu n{\Delta T}}\\ \end{aligned} F~(μ)=∫−∞+∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞+∞n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞∫−∞+∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞fne−j2πμnΔT
当取样频率为 μ=m/MΔT\mu = m/M \Delta Tμ=m/MΔT 时，可以得到离散傅里叶变换（DFT）和逆变换公式为：
Fm=∑n=0M−1fne−j2πμmn/M,m=0,...M−1fn=1M∑m=0M−1Fmej2πμmn/M,n=0,...M−1\begin{aligned} F_m &= \sum_{n=0}^{M-1} f_n e^{-j\ 2\pi \mu mn/M}, &m=0,...M-1\\ f_n &= \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{M-1} F_m e^{j\ 2\pi \mu mn/M}, &n=0,...M-1 \end{aligned} Fmfn=n=0∑M−1fne−j 2πμmn/M,=M1m=0∑M−1Fmej 2πμmn/M,m=0,...M−1n=0,...M−1
由于任何周期或非周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和余弦函数之和的形式，因此用傅里叶变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，而且不会丢失任何信息。这是频率域图像处理的数学基础。
离散傅里叶变换 是将离散信号分解为一系列离散三角函数分量，每个三角函数分量都有对应的幅值 A、频率 f 和相位 φ\varphiφ。通过所有分量叠加可以得到原离散信号。
在图像处理中，通常使用 x,yx, yx,y 表示离散的空间域坐标变量，用 u,vu,vu,v 表示离散的频率域变量。于是将一维离散傅里叶变换表示为：
F(u)=∑x=0M−1f(x)e−j2πux/M,u=0,...M−1f(x)=1M∑u=0M−1F(u)ej2πux/M,x=0,...M−1\begin{aligned} F(u) &= \sum_{x=0}^{M-1} f(x) e^{-j\ 2\pi u x/M}, &u=0,...M-1\\ f(x) &= \frac{1}{M} \sum_{u=0}^{M-1} F(u) e^{j\ 2\pi u x/M}, &x=0,...M-1 \end{aligned} F(u)f(x)=x=0∑M−1f(x)e−j 2πux/M,=M1u=0∑M−1F(u)ej 2πux/M,u=0,...M−1x=0,...M−1
例程 8.6：一维离散傅里叶变换
# 8.6：一维离散傅里叶变换# 生成方波信号N = 200t = np.linspace(-10, 10, N)dt = t[1] - t[0]sint = np.sin(t)sig = np.sign(sint)fig = plt.figure(figsize=(10, 4))plt.subplot(131), plt.title("source"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, sig)# 离散傅里叶变换fft = np.fft.fft(sig, N) # 离散傅里叶变换fftshift = np.fft.fftshift(fft) # 对称平移amp = abs(fftshift) / len(fft) # 幅值pha = np.angle(fftshift) # 相位fre = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(d=dt, n=N)) # 频率plt.subplot(132), plt.title("DFT"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, fft)# 信号恢复recover = np.zeros(N)for a, p, f in zip(amp, pha, fre):sigCos = a * np.cos(2 * np.pi * f * np.arange(N) * dt + p) # 根据幅度,相位,频率构造三角函数recover += sigCos # 把这些三角函数都加起来plt.subplot(133), plt.title("recover"), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.plot(t, recover)plt.show()
（本节完）
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