【OpenCV 例程200篇】73. 二维连续傅里叶变换

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2.1 二维连续傅里叶变换

设 $f (t, z)$ 是二维连续变量 $t, z$ 的连续函数，则其二维连续傅里叶变换和逆变换为：

$F(μ,ν)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(μt+νz)dtdzf(t,z)=∫−∞+∞∫−∞+∞F(μ,ν)ej2π(μt+νz)dμdν\begin{aligned} F(\mu,\nu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t,z) e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ f(t,z) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\mu,\nu) e^{j 2\pi (\mu t + \nu z)} d\mu \ d\nu \end{aligned}$
对于图像处理，式中的 $t, z$ 表示连续空间变量， $μ,ν\mu, \nu$ 表示连续频率变量。

例程 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）

以盒式函数为例，其傅里叶变换为：

$F(μ,ν)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(μt+νz)dtdz=∫−T/2+T/2∫−Z/2+Z/2Ae−j2π(μt+νz)dtdz=ATZ[sin(πμT)πμT][sin(πνZ)πνZ]\begin{aligned} F(\mu,\nu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t,z) e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ &= \int_{-T/2}^{+T/2} \int_{-Z/2}^{+Z/2} A e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ &= ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi \nu Z)}{\pi \nu Z}] \end{aligned}$

    # 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）# 二维盒式函数 (2D-Box_function)t = np.arange(-5, 5, 0.1)  # start, end, stepz = np.arange(-5, 5, 0.1)height, width = len(t), len(z)tt, zz = np.meshgrid(t, z)  # 将一维数组 xnew, ynew 转换为网格点集（二维数组）f = np.zeros([len(t), len(z)])  # 初始化，置零f[30:70, 30:70] = 1  # 二维盒式函数fu = np.sinc(t)fv = np.sinc(z)fuv = np.outer(np.sinc(t), np.sinc(z))  # 由公式计算连续傅里叶变换print(fu.shape, fv.shape, fuv.shape)fig = plt.figure(figsize=(10, 6))ax1 = plt.subplot(121, projection='3d')ax1.set_title("2D-Box function")ax1.plot_wireframe(tt, zz, f, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([]), ax1.set_zticks([])ax2 = plt.subplot(122, projection='3d')ax2.set_title("2D-Fourier transform")ax2.plot_wireframe(tt, zz, fuv, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([]), ax2.set_zticks([])plt.show()

在这里插入图片描述

例程 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）

    # 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）# 二维盒式函数 (2D-Box_function)height, width = 128, 128m = int((height - 1) / 2)n = int((width - 1) / 2)fig = plt.figure(figsize=(9, 6))T = [5, 10, 20]print(len(T))for i in range(len(T)):f = np.zeros([height, width])  # 初始化，置零f[m-T[i]:m+T[i], n-T[i]:n+T[i]] = 1  # 不同尺寸的盒式函数fft = np.fft.fft2(f)shift_fft = np.fft.fftshift(fft)amp = np.log(1 + np.abs(shift_fft))plt.subplot(2,len(T),i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.imshow(f, "gray"), plt.title("Box Filter (T={})".format(T[i]))#plt.subplot(2,len(T),len(T)+i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.imshow(amp, "gray"), plt.title("FFT Spectrum")plt.tight_layout()plt.show()

在这里插入图片描述

（本节完）

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Crated：2022-1-15

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