1.模型简介

层次分析模型主要应用于综合评价类问题，例如：怎样购买最划算、怎样养殖才能获得最大经济效益等等。

2.下面使用一道例题来说明这个问题

1. 问题：你想要购置一台个人电脑，考虑价格、性能等因素，如何做出决策？
   首先，确定这道题是评价类问题，那么便可以使用层次分析法来分析这个问题。
   其次，我们需要确定的几个问题是：
   1. 我们的目标是什么？
      购置一台个人电脑。
   2. 为了达到目标有哪些方案？
      由于样本数量太多，我们可以具体列举几个例子来作为方案。（本题使用了HASSE战神，Redmi G，Lenovo Pro 16，Dell 14 Pro。结果纯属虚设，如有冒犯请联系博主~~~）
   3. 评价的准则或者指标是什么？
      除了题设中的价格、性能之外，通过查阅文献等等，我们还可以将品牌、外观加入到准则中。

确立了这些因素之后，我们可以列出如下结构：

2. 解决问题
   层次分析模型的核心是评价，因此我们可以使用打分来给予方案评价，最终获得最佳购买方案。打分规则：

   1. 每种准则都会有它的重要性大小，我们将它称为权重，占表格第二列。
   2. 针对于每种方案，其影响因素的重要性也不尽相同，因此我们可以为之打分。

   ~	指标权重	HASEE战神	RedmiG	Lenovo Pro 16	Dell Pro 16
   性能
   价格
   品牌
   外观

   3. 填写这个表格时，一次性考虑往往会导致不全面，因此我们可以采用两两比较的打分机制。让1，2，3，4，5，6，7，8，9来分别表示重要程度的递增序列从而确定权重等以因素。

      1. 确定各指标的权重

      指标权重	性能	价格	品牌	外观
      性能	1	2	2	2
      价格	1/2	1	1/2	1
      品牌	1/2	2	1	1
      外观	1/2	1	1	1

      采用两两比较的方法，例如：性能比价格更为重要，因此第一行第二列即为2，第二行第一列即为1/2……
      这样构建出来的矩阵我们将其称为判断矩阵，根据判断矩阵我们便可求出权重，具体见后续步骤。

      同样，利用两两比较的方法针对不同的影响因素为方案打分：
      关于性能的打分：（注：这种打分最建议参考文献，但是真正使用过程中一般是自己打分的）

      性能	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      HASEE战神	1	2	1/2	1/4
      Redmi G	1/2	1	1/2	1/4
      Lenovo Pro 16	2	2	1	1/3
      Dell 14 Pro	4	4	3	1

      关于价格的打分：

      价格	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      HASEE战神	1	2	1/3	1/5
      Redmi G	1/2	1	1/2	1/4
      Lenovo Pro 16	3	2	1	1/2
      Dell 14 Pro	5	4	2	1

      关于品牌的打分：

      品牌	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      HASEE战神	1	1/3	1/3	1/3
      Redmi G	3	1	1/2	1/2
      Lenovo Pro 16	3	2	1	1
      Dell 14 Pro	3	3	1	1

      关于外观的打分：

      外观	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      HASEE战神	1	1/3	1/2	1/2
      Redmi G	3	1	2	3
      Lenovo Pro 16	2	1/2	1	2
      Dell 14 Pro	2	1/3	1/2	1

      但是，通过逻辑推理我们会发现，有时这种打分同样会存在矛盾。例如认为HASEE战神比Redmi G好，Redmi G比Lenovo Pro 16好，那么HASEE战神就应该比Lenovo Pro 16好。但是在实际打分过程中，我们可能会忽略这个因素而认为Lenovo Pro 16比HASEE战神好。
      因此，要使用这种表格进行权重计算，就必须要经过一致性检验。

   4. 一致性检验
      我们可以发现表格是存在这样的关系的：
      $$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$$
      因此，按照这种规则构造出的矩阵应该时每一行都成倍数的矩阵，我们将其称为一致矩阵，一致性检验就是检验判断矩阵和一致矩阵的差别是否在一个可以接受的范围内。具体检验步骤如下：

      1. 计算判断矩阵的最大特征值
      2. 计算一致性指标：
         $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
      3. 查找对应的平均一致性指标
         
      4. 计算一致性比例CR
         $$CR=\frac{CI}{RI}$$

      如果CR<0.1，那么判断矩阵就通过了一致性检验，反之则需要对判断矩阵进行修正。
      （其中的原理可以参考文献，核心思想时蒙特卡罗算法）

   5. 计算权重

      1. 若某一判断矩阵是一致矩阵：
         那么直接将其中一行或一列进行归一化处理即可（因为都是成比例的）
         $$权重=\frac{\text{得分}}{\text{该列或该行所有得分之和}}$$
      2. 若不是一直矩阵：
         则主要有三种方法来求权重向量：
         1. 算术平均法：
            步骤一：将判断矩阵按照列进行归一化
            步骤二：将归一化后的各行相加
            步骤三：将所得的和除以n即可得到权重

      指标权重	性能	价格	品牌	外观
      性能	1	2	2	2
      价格	1/2	1	1/2	1
      品牌	1/2	2	1	1
      外观	1/2	1	1	1

      第一列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{1}{1+1/2+1/2+1/2}=2/5 \\ \text{价格：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \\ \text{品牌：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \\ \text{外观：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \end{gathered}$$

      第二列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1+2+1}=1/3 \\ \text{价格：}\frac{1}{2+1+2+1}=1/6 \\ \text{品牌：}\frac{2}{2+1+2+1}=1/3 \\ \text{外观：}\frac{1}{2+1+2+1}=1/6 \end{gathered}$$

      第三列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1/2+1+1}=4/9 \\ \text{价格：}\frac{1/2}{2+1/2+1+1}=1/9 \\ \text{品牌：}\frac{1}{2+1/2+1+1}=2/9 \\ \text{外观：}\frac{1}{2+1/2+1+1}=2/9 \end{gathered}$$

      第四列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1+1+1}=2/5 \\ \text{价格：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \\ \text{品牌：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \\ \text{外观：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \end{gathered}$$

      因此，各影响因素的权重为：
      性能=$\frac{2/5+1/3+4/9+2/5}{4}=0.3952$

      价格=$\frac{1/5+1/6+1/9+1/5}{4}=0.1694$

      品牌=$\frac{1/5+1/3+2/9+1/5}{4}=0.2388$

      外观=$\frac{1/5+1/6+2/9+1/5}{4}=0.1972$

      同理，可以计算出性能等因素的权重。综合为一个表格：

      ~	指标权重	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      性能	0.3952	0.1480	0.1035	0.2177	0.5308
      价格	0.1694	0.1293	0.1056	0.2638	0.5013
      品牌	0.2388	0.0970	0.2027	0.3304	0.3699
      外观	0.1972	0.1202	0.4495	0.2596	0.1707

      因此，
      HASEE战神得分：$0.1480\times 0.3952+0.1293\times 0.1694+0.0970\times 0.2388+0.1202\times 0.1972=0.1273$
      Redmi G得分：$0.1035\times 0.3952+0.1056\times 0.1694+0.2027\times 0.2388+0.4495\times 0.1972=0.1958$
      Lenovo Pro 16得分：$0.2177\times 0.3952+0.2638\times 0.1694+0.3304\times 0.2388+0.2596\times 0.1972=0.2608$
      Dell 14 Pro得分：$0.5308\times 0.3952+0.5013\times 0.1694+0.3699\times 0.2388+0.1707\times 0.1972=0.4167$

      因此，由算术平均法得到的结果为购买Dell 14 Pro。

   6. 几何平均法
      步骤一：将矩阵元素按行相乘得到一个新的列向量
      步骤二：将新的向量每个分量开n次方
      步骤三：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

      指标权重	性能	价格	品牌	外观
      性能	1	2	2	2
      价格	1/2	1	1/2	1
      品牌	1/2	2	1	1
      外观	1/2	1	1	1

      按行相乘得到新的列向量：
      $\mathbf{n}=\left(\begin{array}{c}8.0000\\ 0.2500\\ 1.0000\\ 0.5000\end{array}\right)$

      开n次方后：
      $\mathbf{n}=\left(\begin{array}{c}1.6818\\ 0.7071\\ 1.0000\\ 0.8409\end{array}\right)$

      进行归一化：
      $\mathbf{n}=\left(\begin{array}{c}0.3976\\ 0.1672\\ 0.2364\\ 0.1988\end{array}\right)$

      同理，使用相同的方法，可以得到如下表格：

      ~	指标权重	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
      性能	0.3976	0.1439	0.1018	0.2187	0.5357
      价格	0.1672	0.1224	0.1013	0.2667	0.5096
      品牌	0.2364	0.0940	0.1994	0.3354	0.3712
      外观	0.1988	0.1182	0.4531	0.2616	0.1671

      因此，
      HASEE战神得分：$0.1439\times 0.3976+0.1224\times 0.1672+0.0940\times 0.2364+0.1182\times 0.1988=0.1234$
      Redmi G得分：$0.1018\times 0.3976+0.1013\times 0.1672+0.1994\times 0.2364+0.4531\times 0.1988=0.1566$
      Lenovo Pro 16得分：$0.2187\times 0.3976+0.2667\times 0.1672+0.3354\times 0.2364+0.2616\times 0.1988=0.2628$
      Dell 14 Pro得分：$0.5357\times 0.3976+0.5096\times 0.1672+0.3712\times 0.2364+0.1671\times 0.1988=0.4192$

因此，由几何平均法可以的粗，最佳购买方案为Dell 14 Pro。

3. 特征值法求权重
   步骤一：求出判断矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量
   步骤二：对求出的特征向量进行归一化即可得到权重

   $$	指标权重	性能	价格	品牌	外观
   $$	性能	1	2	2	2
   $$	价格	1/2	1	1/2	1
   $$	品牌	1/2	2	1	1
   $$	外观	1/2	1	1	1

   求出矩阵的最大特征值：${\lambda }_{max}=3.7656$，再求出该特征值对应的特征向量${\mathbf{n}}_{\mathbf{m}\mathbf{a}\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{c}0.7810\\ 0.3447\\ 0.3447\\ 0.3905\end{array}\right)$

   对该特征向量进行归一化处理得到权重向量为：$\left(\begin{array}{c}0.3952\\ 0.1682\\ 0.2390\\ 0.1976\end{array}\right)$

   同理可以求出其他权重向量，得到以下表格：

   ~	指标权重	HASEE战神	Redmi G	Lenovo Pro 16	Dell 14 Pro
   性能	0.3952	0.1452	0.1023	0.2184	0.5340
   价格	0.1682	0.1263	0.1030	0.2671	0.5036
   品牌	0.2390	0.0942	0.1986	0.3300	0.3772
   外观	0.1976	0.1190	0.4512	0.2609	0.1689

   因此，
   HASEE战神得分：$0.1452\times 0.3952+0.1263\times 0.1682+0.0942\times 0.2390+0.1190\times 0.1976=0.1247$
   Redmi G得分：$0.1023\times 0.3952+0.1030\times 0.1682+0.1986\times 0.2390+0.4512\times 0.1976=0.1944$
   Lenovo 14 Pro得分：$0.2184\times 0.3952+0.2671\times 0.1682+0.3300\times 0.2390+0.2609\times 0.1976=0.2617$
   Dell 14 Pro得分：$0.5340\times 0.3952+0.5036\times 0.1682+0.3772\times 0.2390+0.1689\times 0.1976=4193$

   因此，根据算术平均法得出的最佳购买方案为Dell 14 Pro。

4. 总结
   层次分析模型（AHP）的主要特点是建立层次结构，量化重要性，一致性检验以及权重的求取

   第一步：分析因素关系，建立系统的递阶层次结构

   第二步：将各因素即方案进行两两比较，建立比较矩阵（最建议查阅文献，但一般都自己填的hhh）

   第三步：进行一致性检验

   第四步：根据权重矩阵计算得分，并进行排序
   5.局限与推广

   1. 局限
      方案层不能太多，否则n会变大，判断矩阵和一致矩阵差异将增大。
   2. 推广
      可能会存在准则与方案不是完全关联的情况，此时将这些没有关联的打分为0即可。

最近在准备国赛，有什么不足与改进还请多多相助~~~