插值算法简介

数据分析是在大数据时代下不可获取的一环，合理、全面地分析数据，能够使得决策者在决策时作出最为明智的决定。在数据分析过程中，常常可以使用插值算法来根据已知的数据估算出未知的数据，从而模拟产生一些新的值来满足要求。

一维插值

在许多插值问题中，我们常常研究的是一维插值：
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，且已知在点 $$a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$$ 上的值分别为：$y_0,y_1,\cdots ,y_n,$
若存在一简单函数$P(x)$，使 $$P(x_i)=y_i(i=0,1,2,\cdots ,x_n)$$则称 $P(x)$ 为$f(x)$ 的插值函数，点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 称为插值节点，包含插值节点的区间 $[a,b]$ 称为插值区间，求插值函数 $P(x)$ 的方法称为插值法。

主要插值法

1. 若 $P(x)$ 是次数不超过 $n$ 的代数多项式，即$$P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$$
2. 分段插值：即一段一段的进行插值，得到的插值函数比较复杂，但是准确度较高。
3. 三角插值：主要会使用傅里叶变换。

插值算法

1. 拉格朗日插值法

   $\bullet$ 两个点：$(x_0,y_0)(x_1,y_1)$
   可以设出插值函数为：$$f(x)=\frac{x-x_0}{x_0-x_1}{y}_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1$$

   $\bullet$ 三个点：$(x_0,y_0)(x_1,y_1)(x_2,y_2)$
   可以设出插值函数为：$$\begin{gathered} f(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{y}_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{y}_1 \\ +\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{y}_2 \end{gathered}$$
   以此类推，可以得出4个、5个……点的拉格朗日插值函数。

   然而，拉格朗日插值法在平常的插值问题分析中并不常用，原因是会产生龙格现象（即多项式的次数越高，函数两端的波动便会越大，越不准确）。

2. 分段线性以及分段二次插值
   顾名思义，就是将函数分为一段一段的，每一段都是用线性函数或者二次函数来进行估计。

3. 牛顿插值
   $\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ & +f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots \\ & +f[x_0,x_1,\cdots ,x_{n-2},x_{n-1}](x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-3})(x-x_{n-2})\\ & +f[x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1},x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-2})(x-x_{n-1})\end{array}$
   其中 $f[x_0,x_1]$ 是指 $f(x)$ 关于点 $x_0,x_1$ 的差商。

   一阶差商：$f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}$
   二阶差商：$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$
   $\cdots$
   k阶差商：$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f[x_1,\cdots ,x_{k-1},x_k]-f[x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$

   但是，牛顿插值法也会存在龙格现象的问题。

4. 最为常用的两种插值方法：三次埃尔米特插值以及三次样条插值
   4.1 三次埃尔米特插值
   $\bullet$ 埃尔米特插值原理
   设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有 n + 1 个互异节点 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$，定义在$[a,b]$上函数$f(x)$在节点上满足：
   $$f(x_i)=y_i,f^{\prime }(x_i)=y_i^{\prime }(i=0,1,2,\cdots ,n)(2n+2\text{个条件})$$
   可唯一确定一个次数不超过$2n+1$的多项式$H_{2n+1}(x)=H(x)$满足：
   $$H(x_j)=y_j,H^{\prime }(x_j)=m_j(j=0,1,\cdots ,n)$$其余项为：$$R(x)=f(x)-H(x)=\frac{f^{2n+2}(\xi )}{(2n+2)!}{\omega }_{2n+2}(x)$$
   三次埃尔米特插值可在 $Matlab$ 中调用 $phip$ 函数进行直接求取，详见后面的例题。

   4.2 三次样条插值
   $\bullet$ 三次样条插值条件
   设 $y=f(x)$ 在点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 的值为 $y_0,y_1,\cdots ,y_n$，若函数 $S(x)$ 满足下列条件：
   $△$ $S(x_i)=f(x_i)=y_i,i=0,1,2,\cdots ,n$；
   $△$ 在每个子区间 [$x_i$,$x_{i+1}$]($i=0,1,2,\cdots ,n-1$)上$S(x)$是三次多项式；
   $△$ $S(x)$在[a,b]上二阶连续可微，则称$S(x)$为函数$f(x)$的三次样条插值函数；

   同样，三次样条插值也可在 $Matlab$ 中调用 $spline$ 函数进行直接求取，详见后面的例题。

例题：淡水养殖中池塘水体质量的评估

1. 原始数据
   

2. 三次埃尔米特插值

   $Matlab$代码为：

	[n,m]=size(Pool_1);x=1:2:15;new_x=1:15;res_2=zeros(n,size(new_x,2));%pchip埃尔米特

数据处理结果：

可以看到，原始数据只有15周内奇数周的数据，经过插值过后，获得了完整的15周池塘水体质量的数据。

3. 三次样条插值

   $Matlab$代码为：

[n,m]=size(Pool_1);
x=1:2:15;
new_x=1:15;
res_1=zeros(n,size(new_x,2));%spline 得到的y

数据处理结果为：

同样也获得了15周内完整的池塘水体质量数据。

注意，这样的插值方法还可以对未来进行短期的预测。方法不同，预测结果同样会有些差异。

如果想要深入了解插值算法，推荐

刘春凤教授：中国大学MOOC数值计算方法

这本书。

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