一、分类模型综述

通过样本数据中的分类依据以及具体的分类类别，预测后续给出的对象属于哪一类，这就是分类模型。

本文将采用逻辑回归和Fisher线性判别分析这两种分类算法来进行对象分类。

二、逻辑回归

类型	模型	Y的特点	例子
线性回归	OLS、GLS（最小二乘）	连续数值变量	GDP、收入等
0 - 1回归	logistic回归	二值变量（0 - 1）	是否喜欢、是否到达等
定序回归	prohibit定序回归	定序变量	等级评定，喜爱程度等
计数回归	泊松回归（泊松分布）	计数变量	每分钟车流量，次数等
生存回归	Cox等比例风险回归	生存变量	企业、产品的寿命等

逻辑回归的因变量即为二值变量类型，可以将 $y$ 看作属于某一类的概率—— $y⩾0.05$，则属于这一类；反之，$y⩽0.05$，则不属于这一类。

三、两点分布（伯努利分布）

事件	1	0
概率	$p$	$1-p$

在给定 $\mathbf{x}$ 的情况下，考虑 $y$ 的两点分布概率

$\{\begin{array}{rl}& P(y=1|\mathbf{x})=F(\mathbf{x},\beta )\\ & P(y=0|\mathbf{x})=1-F(\mathbf{x},\beta )\end{array}$ 注：一般 $F(\mathbf{x},\beta )=F({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\prime }\beta )$

$F(\mathbf{x},\beta )$ 称为连接函数，它将解释变量 $x$ 和被解释变量 $y$ 连接起来。
我们只需要保证 $F(\mathbf{x},\beta )$ 是值域在 $[0,1]$ 上的函数，就能保证 $0⩽\hat{y}⩽1$。

根据两点分布求概率的公式：$E(y|\mathbf{x})=1\times P(y=1|\mathbf{x})+0\times P(y=0|\mathbf{x})=P(y=1|\mathbf{x})$，因此可以将 $\hat{y}$ 理解为 $y=1$ 发生的概率。

四、连接函数的取法

1. $F(\mathbf{x},\beta )$ 可以取为标准正态分布的累积密度函数($cdf$)：$$F(\mathbf{x},\beta )=\Phi ({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )={\int }_{-\infty }^{{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$(probit回归)
2. $F(\mathbf{x},\beta )$ 可以取为 $Sigmoid$ 函数$$F(\mathbf{x},\beta )=S({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )=\frac{exp({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )}{1+exp({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )}$$(logistic回归)
   可以看出，前者计算积分会比较困难，因此我们可以选择使用更为方便的logistic模型。

五、Logistic回归模型

在给定 $\mathbf{x}$ 的情况下，考虑 $y$ 的两点分布概率$$\{\begin{array}{rl}& P(y=1|\mathbf{x})=F(\mathbf{x},\beta )\\ & P(y=0|\mathbf{x})=1-F(\mathbf{x},\beta )\end{array}$$因为 $E(y|\mathbf{x})=1\times P(y=1|\mathbf{x})+0\times P(y=0|\mathbf{x})=P(y=1|\mathbf{x})$，因此可以将 $\hat{y}$ 理解为 $y=1$ 发生的概率。
$$\begin{gathered} \widehat{y_i}=P(y_i=1|\mathbf{x})=S({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )=\frac{exp({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )}{1+exp({{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{\prime }\beta )} \\ =\frac{e^{\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_{1i}+\widehat{{\beta }_2}{x}_{2i}+\cdots +\widehat{{\beta }_k}{x}_{ki}}}{1+e^{\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_{1i}+\widehat{{\beta }_2}{x}_{2i}+\cdots +\widehat{{\beta }_k}{x}_{ki}}} \end{gathered}$$ 如果 $\widehat{y_i}⩾0.5$，则认为其预测的 $y=1$；否则则认为其预测的 $y=0$

六、在SPSS中进行二元Logistic回归

回归结果：

回归结果表示19个苹果样本，预测为苹果的有14个，正确率为73.7%；同理，预测为橙子的结果有15个，预测的正确率为78.9%。

通过这样的回归我们便可以知道 ${\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_k$ 的值（表格第三列）。

将后续数据带入方程后，若 $\widehat{y_i}⩾0.5$，则说明其预测的结果是苹果，否则则为橙子。

同时，我们还可以在表格中看到这两列：

这里可以查看具体预测的值和具体的预测结果。

七、预测结果较差的解决

若对预测结果不满意，可以在logistic回归模型中加入平方项、交互项等

如果加入了平方项，那么预测的结果：

完全符合，这种现象叫做过拟合现象。其对于样本数据预测得非常好，但是对于样本外的数据得预测效果可能会差很多。

那么我们该如何确定合适得预测模型呢？
可以将数据分为训练组和测试组（一般是八二开），让训练组取估计模型，然后用测试组得数据来进行测试。可以多进行几次，求得每个模型的平均准确率，取准确率最高的那个模型。（交叉验证）

八、Fisher线性判别分析

1. 主要思想
   给定训练集样例，设法将样例投影到一维的直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近和密集，异类投影点尽可能远离。
2. 在SPSS中进行Fisher线性判别分析
   结果为：
   
   这个表格表示线性系数。
   
   还可以从表格后面多出的列中得到具体的预测结果。

九、多分类问题

1. 多分类问题
   在二分类的问题上，类别不再是只有两个类别，现在有多个类别。
2. 使用Logistic回归解决多分类问题
   在SPSS中进行logistic回归分析，可以得出结果：
   
   可以得出预测分类结果。
3. 使用Fisher判别分析解决多分类问题
   同样可以使用Fisher判别分析来求解多分类问题。在定义范围的时候将范围扩大即可。
   
   从结果表格中同样可以得出预测分类结果。

十、总结

解决分类模型，主要步骤可以总结为一下几点：

1. 确定类别以及分类数据；
2. Logistic回归 or Fisher判别分析？
3. 若是Logistic回归，预测结果怎么样？是否需要训练出合适的模型？
4. 根据模型在SPSS中调用对应的命令得出结果；
5. 对结果进行解释。