常见积分和导数的推导

导数:

1.y=arcsinxy=arcsinxy=arcsinx的导数:
y=arcsin⁡x→x=sin⁡y→1=y′cos⁡y→y′=1cos⁡y→y′=11−x2\\y=\arcsin x\\ \rightarrow x=\sin y\\ \rightarrow 1={y}'\cos y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\cos y}\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}y=arcsinxx=siny1=ycosyy=cosy1y=1x21
2.y=arctanxy=arctanxy=arctanx的导数:
y=arctan⁡x→x=tan⁡y→1=y′cos⁡2y→y′=cos⁡2y→y′=11+x2\\y=\arctan x\\ \rightarrow x=\tan y\\ \rightarrow 1=\frac{{y}'}{\cos^{2}y}\\ \rightarrow {y}'=\cos^{2}y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{1+x^{2}}y=arctanxx=tany1=cos2yyy=cos2yy=1+x21

下面都是同理,原理是隐函数求导。

y=arccosxy=arccosxy=arccosx的导数
y=arccotxy=arccotxy=arccotx的导数
y=arcsecxy=arcsecxy=arcsecx的导数
y=arccscxy=arccscxy=arccscx的导数

三角函数的导数、等式、相互的转换关系,可以看之前写的

积分:

1.∫dxa2−x2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}} } a2x2dx
在这里插入图片描述
2.∫dxx2−a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} }x2a2dx

在math.stackexchange里面看到了一个相当NB的解答,这种解法同样可以求∫dxx2+a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }x2+a2dx
在这里插入图片描述
3.∫dxx2+a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }x2+a2dx
解法同上,只有y的值改变了,其他都不变。
在这里插入图片描述
4.∫sec⁡xdx{\color{DarkBlue}\int \sec xdx }secxdx
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

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