数学之美：嵌入式编程凹凸性之妙用（附C代码）

来源 | 嵌入式客栈

今天遇到一个网友问一个问题，他有一个传感器测量一个物理量，需要判断其变化趋势，我给了一些建议，这里将这个建议展开做些深入分析，并分享给大家。

本文想借此表达一下个人的一个观点，做开发如果遇到无法解决的难题，可以试着从数学的角度出发，看能否找到答案。

是个啥坑？

一个项目中用到一个传感器测量一物理量，这里假定测量温度吧。需要判断其变化趋势，利用这个变化趋势去做一些应用。

那么要怎么判断一个物理量的变化趋势呢？我们能自然能想到去求取该随机序列的变化率。这里涉及到一些数序定义。随机序列有很多可能的来源，最为常见是模数采样。

这样将S(t)信号转换为离散信号序列S(n)，那么对于当前时刻其斜率怎么求取呢？(这里忽略中间的过度态，仅将其看为线段相连，当然现实应用中如果有更高要求，可以做曲线拟合)

但是如果只判断，斜率极容易误判，比如下面这样的情况：

其斜率一会儿正，一会儿负，但是其总体趋势又是在增加的，所以只考察斜率显然不可取，获取需要在代码在加各种复杂的条件或者限值去判断。即使加这么多条件系统仍然可能表现的非常不健壮。

对于模拟信号2而言，趋势又在不断变化。那么怎么做才能稳定呢？先卖个关子？

函数的凹凸

凹函数

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1<x2和任意的实数t属于(0,1),总有,

则称函数f为l上凹函数，有的书上也称为下凸函数。

如果把上述条件中的“≥”改成“>”，则叫做严格上凹函数，或叫做严格下凸函数。

上面是一维函数情况，这里来个2维函数的图，刚方便理解

凸函数

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1<x2和任意的实数t属于(0,1)，上面不等式变成大于等于，则在该区间为凸函数。

可见，凹凸是相对的，如f(x)在某区间为凹，则-f(x)则在该区间为凸。

性质

若一个函数在某区间二阶可导且大于0，则函数在该区间为凹函数

若一个函数在某区间二阶可导且小于0，则函数在该区间为凸函数

证明，这里就不推导了，可以利用拉格朗日中值定理可以推导出上面这个性质。

来看一下会动的图,加深一下理解:

函数从到切线为蓝色，曲线向上凹,绿色表示曲线是向下凹的，红色表示曲线的拐点。

sin(2x)的一阶导数为：

sin(2x)的二阶导数为：

装逼结束，也可能没装对～～～

回到坑里

通过上面装逼，是否可以利用离散序列的求导数来判断传感器的变化趋势。啥？导数？又要开始表演了？

前面说了一阶导数是这样的：

那么二阶导数是哪样捏？

化简一下：

其中S[n]表示当前测量点，S[n-1]表示前一个测量点，S[n-2]表示前第2个测量点。应为+S[n-2]

上代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
typedef struct _T_2ND_DRV
{float xn1;float xn2;
}t_2ND_DRV;
typedef struct _T_1ST_DRV
{float xn1;
}t_1ST_DRV;void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv)
{pSndDrv->xn1 = 0;pSndDrv->xn2 = 0;
}float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn,float T)
{float result=0.0f;if(T<=0)return 0x7FBFFFFF; /*非法数据*/result = (xn-2*pSndDrv->xn1+pSndDrv->xn2)/T/T;pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1;pSndDrv->xn1 = xn;return result;
}void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv)
{p1stDrv->xn1 = 0;
}float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn,float T)
{float result=0.0f;if(T<=0)return 0x7FBFFFFF; /*非法数据*/result = (xn-p1stDrv->xn1)/T; p1stDrv->xn1 = xn;return result;
}
#define PI 3.1415f
#define SAMPLE_RATE 500.0f
#define SAMPLE_T (1/SAMPLE_RATE)
#define SAMPLE_SIZE (100)
int main()
{float sim1[SAMPLE_SIZE];float sim2[SAMPLE_SIZE];float out1[SAMPLE_SIZE];float out2[SAMPLE_SIZE];t_2ND_DRV sndDrv;t_1ST_DRV frtDrv;init_fisrt_derivative(&frtDrv);init_second_derivative(&sndDrv);FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");if(pFile==NULL){printf("simulationSin.csv opened failed");return -1;}for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++){sim1[i]=10*sin(2*PI*10*i/500);} for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++){out1[i]=fisrt_derivative(&frtDrv,sim1[i],SAMPLE_T);out2[i]=second_derivative(&sndDrv,sim1[i],SAMPLE_T);fprintf(pFile,"%f,%f,%f\n",sim1[i],out1[i],out2[i]);}fclose(pFile);return 0;
}

忽略前两个点，利用excel生成曲线：

从图中可看出：

一阶导数为正时，函数递增趋势；
一阶导数为负时，函数递减趋势；
二阶导数为0时，出现拐点，趋势改变；此时如果左右两侧的一阶导符号相反，则出现极值。
二阶导数为负时，其一阶导数也即原函数斜率规律单调减，二阶导数为正时，其一阶导数也即原函数斜率规律单调增。

再进一步：

一阶导数与二阶导数结合起来看，就可以看出测量值变化趋势的趋势，比如在前1/4周期，此区间变换趋势为增，也即一阶导数为正，而其二阶导数为负，也可以看出递增的趋势是逐渐减小到0的。

代码优化

如果只是做定性判断，上述函数，完全没必要与采样周期做除法，只需要考察其增量即可，代码可优化如下：

typedef struct _T_2ND_DRV
{float xn1;float xn2;
}t_2ND_DRV;
typedef struct _T_1ST_DRV
{float xn1;
}t_1ST_DRV;void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv)
{pSndDrv->xn1 = 0;pSndDrv->xn2 = 0;
}float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn)
{float result=0.0f;result = xn-2*pSndDrv->xn1+pSndDrv->xn2;pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1;pSndDrv->xn1 = xn;return result;
}void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv)
{p1stDrv->xn1 = 0;
}float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn)
{float result=0.0f;result = xn-p1stDrv->xn1; p1stDrv->xn1 = xn;return result;
}

意外收获

这里意外引入一个可能很多人没注意的知识点NaN，在计算中，NaN代表非数字，是数字数据类型的成员，可以将其解释为不确定的或无法表示的值，尤其是在浮点运算中。1985年，IEEE 754浮点标准引入了NaN的系统使用，并表示了其他无限量（如无穷大）。

前述函数返回0x7FBFFFFF,也就是表示无穷大。

不同的操作系统和编程语言可能具有NaN的不同字符串表示形式：

nanNaNNaN%NANNaNQNaNSqNaNsNaN1.#SNAN1.#QNAN-1.#IND

实际上，由于编码的NaN具有符号，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它们，例如：

 -NaNNaN12345-sNaN12300-NaN(s1234)

工程应用

这里给出我的建议方案：

将传感器信号经由电路处理，模数采样，在进入前级数字滤波器，滤除不必要的噪声，在进行一阶/二阶求导。对于一阶和二阶求导再做一级移动平均滤波，最后在按照上面描述进行判别变化趋势，则个人认为基本就比较健壮了。实际移动均值滤波长度不宜选择过长，否则响应就比较滞后了。不能对传感器的变化趋势做出实时的判别。加了后级均值滤波器，则会消除由于波形忽上忽下的随机噪声干扰影响，使得系统判别更为健壮，实际滤波器长度需根据不同的场合进行调试优化。或者也可以选择别的IIR/FIR滤波器形式实现。