用“曲线下的面积”来描述积分，就像用一串单词来描述一本书。

正弦函数的积分是其曲线下的面积。几何直觉就是:“正弦的积分是沿圆周路径的水平距离。”这句话第一次听说感觉比较抽象，当你理解了就会觉得它非常的美妙

一般的思维模式求正弦函数的积分就是：用黎曼和原理

在这里我们想象一下sinx的变化

• X是我们当前的弧度角。在单位圆上(半径= 1)，角度就是沿圆周的距离。

• dX 是角度的微小变化，圆周会以此作相同的变化

• 原始三角形(斜边= 1)：高度= sin(X)，宽度= cos⁡(X)
• 更改后的三角形(斜边= dx)：高度= sin(X)dX，宽度= cos(X)dX

所以可以理解为：我们的变化只是旋转和缩放了的原始三角形

图中sinxdx就是dx的水平分量，由此得到

sin(x)的积分等于沿路径的水平变化量

我们把它画出来，看看会发生什么

当我们旋转时，就有一堆 dX线段(红色)。当正弦较小时(大约x = 0)，我们几乎不会得到任何水平运动。随着正弦变大(圆的顶部)，我们将水平向上移动了100％。

当旋转到π时，水平移动了2个单位。这在图中是完全有意义的.纯数学的验证得到

当旋转到π/2时，也就水平移动了1个单位，sinx在区间(0,π/2)下的面积就是1